Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10056
2019-01-14 
На дне открытого сверху теплоизолирующего сосуда с площадью поверхности $S$ находится слой льда массой $m$ при температуре $T_{x} = 0^{ \circ} С$. Температура воздуха равна $T_{0} > 0^{ \circ} С$. Идёт вертикальный дождь, скорость капель равна $v$, а температура $T_{0}$. Масса капель дождя в единичном объёме воздуха равна $\rho$, дождевая вода скапливается слоем на льду. Мощность поглощения водой тепла из воздуха пропорциональна разности температур: $N = k \Delta T$. Найдите время, за которое полностью растает лёд в сосуде. Удельная теплоёмкость воды $c_{в}$, льда $c_{л}$, удельная теплота плавления $\lambda$. Теплообмен между льдом и водой происходит быстро.
На сколько изменится ответ, если начальная температура $T_{x}$ чуть ниже $0^{ \circ} С$? До того, как лёд нагреется до $0^{ \circ} С$, вся вода, попавшая в сосуд, замерзает. Считайте, что при этом изменение массы льда много меньше его начальной массы, а изменение температуры много меньше ($T_{0} - 0^{ \circ} С$), которая мала по сравнению с $\frac{ \lambda}{c_{в} }$. Мощность поглощения льдом тепла из воздуха $\tilde{N} = \tilde{k} \Delta T$.
Решение:
1. Найдём, сколько дождевой воды попадает на лёд за время $t$. Капли дождя за это время пролетят расстояние $vt$, значит, та поверхность сосуда попадёт объём дождевой воды, равный $vtS$. Поэтому масса попавшей на поверхность воды будет равна $\rho vtS$.
Теперь запишем уравнение теплового баланса для льда, который успел расплавиться за время $t$. В лёд попало $\rho vtS$ воды при температуре $T_{0}$, которая затем остыла до температуры $0^{ \circ} C$. Таким образом от воды пришло $c_{в} \rho vtS(T_{0} - 0)$ тепла. Тут мы пренебрегаем кинетической энергией капель. Ведь кинетическая энергия 1 кг воды, летящей со скоростью 20 м/с (настоящие капли движутся медленнее) равна $\frac{1 \cdot 400}{2} Дж$. Её хватит, чтобы расплавить массу льда, равную $\frac{200}{3,4 \cdot 10^{5}} кг \approx 0,6 г$. Поэтому такое пренебрежение уместно.
Тепло, пришедшее в лёд из воздуха за это время будет равно $k \Delta Tt = k(T_{0} - 0)t$, ведь температура смеси льда и воды постоянна и равна $0^{ \circ} C$. Тут надо заметить, что в первые моменты, пока лёд практически не растаял, а дождевая вода не успела налиться сверху в достаточном количестве, тепло будет переходить не из воздуха в воду, а из воздуха в лёд. Однако, промежуток времени, пока это действительно будет так, мал, ведь за это время растает лишь малая часть льда.
Всё тепло, пришедшее в лёд, идёт на его плавление. За время $t$ расплавилась масса льда $m$, поэтому уравнение теплового баланса выглядит следующим образом:
$c_{в} \rho vtST_{0} + kT_{0}t = m \lambda$
Отсюда получаем время плавления:
$t = \frac{m \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} }$
2. Изменение массы льда выражается через время до того, как температура станет нулём (пусть $\tau$), линейно, ведь за это время на поверхности льда намёрзнет масса, равная $\rho v \tau S$, и, так как ответ зависит от массы льда линейно, изменение времени плавления льда легко выразить через $\tau$:
$\Delta t_{плавл} = \frac{ \Delta m \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } = \frac{ \rho vS \lambda }{c_{в} \rho v ST_{0} + kT_{0} } \tau$
Итак, значит, время плавления льда изменится на $\Delta t_{плавл}$. Но в изменение ответа входит ещё $\tau$, время до того момента, как температура льда станет равной $0^{ \circ} C$. Найдём его.
Итак, изначальная температура мало отличается от нулевой, поэтому можно считать её изменение линейным по времени. В начальный момент температура $T_{x}$, через время $\tau$ она $0^{ \circ} C$. Поэтому эта линейная зависимость: $T(t) = T_{x} + \alpha t$, $\alpha = \frac{T_{x} }{ \tau}$. Тогда напишем уравнение теплового баланса для нагревания льда за время $dt$, его температура меняется с $T$ на $T + dT = T + \alpha dt$.
Тепло, которое забрал лёд, равно $Q = c_{л}m \alpha dt$. Мы считаем тут массу льда постоянной, ведь по условию её изменение за всё время нагревания много меньше её самой. Заметим, что получившееся выражение первого порядка малости. Дальнейшие вычисления будем проводить с той же точностью.
Тепло, полученное льдом из капель будет равно $Q_{1} = \rho vdtS (c_{в}(T_{0} - 0) + \lambda + c_{л} (0 - T_{x}))$ (капли остывают, замерзают и остывают ещё). С учётом соотношений, данных в условии, понимаем, что первое и третье слагаемые малы по сравнению со вторым. Поэтому остаётся $Q_{1} \approx \rho vdtS \lambda$.
Тепло, полученное льдом из воздуха за этот короткий промежуток времени будет $Q_{2} = \tilde{N}_{cp} dt = \tilde{k}(T_{0} - T - \frac{1}{2} \alpha dt)dt$. Оставляя только члены первого порядка малости, получаем $Q_{2} = \tilde{k}(T_{0} - T)dt$. Далее заметим, что по условию изменение $T$ много меньше $T_{0} - 0$, поэтому вычитаемое в скобках можно опустить. Окончательно, $Q_{2} = \tilde{k}T_{0}dt$.
Итоговое уравнение теплового баланса:
$Q_{1} + Q_{2} = Q$
$\rho vdtS \lambda + \tilde{k}T_{0}dt = c_{л}m \alpha dt$
Сокращая $dt$, выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{ \rho vS \lambda + \tilde{k}T_{0} }{c_{л}m }$
А теперь можно получить ответ:
$\Delta t = \tau + \Delta t_{плавл} = \tau \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right ) = \frac{T_{x} }{ \alpha} \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right ) = \frac{T_{x} c_{л}m }{ \rho v S \lambda + \tilde{k}T_{0} } \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right )$
На дне открытого сверху теплоизолирующего сосуда с площадью поверхности $S$ находится слой льда массой $m$ при температуре $T_{x} = 0^{ \circ} С$. Температура воздуха равна $T_{0} > 0^{ \circ} С$. Идёт вертикальный дождь, скорость капель равна $v$, а температура $T_{0}$. Масса капель дождя в единичном объёме воздуха равна $\rho$, дождевая вода скапливается слоем на льду. Мощность поглощения водой тепла из воздуха пропорциональна разности температур: $N = k \Delta T$. Найдите время, за которое полностью растает лёд в сосуде. Удельная теплоёмкость воды $c_{в}$, льда $c_{л}$, удельная теплота плавления $\lambda$. Теплообмен между льдом и водой происходит быстро.
На сколько изменится ответ, если начальная температура $T_{x}$ чуть ниже $0^{ \circ} С$? До того, как лёд нагреется до $0^{ \circ} С$, вся вода, попавшая в сосуд, замерзает. Считайте, что при этом изменение массы льда много меньше его начальной массы, а изменение температуры много меньше ($T_{0} - 0^{ \circ} С$), которая мала по сравнению с $\frac{ \lambda}{c_{в} }$. Мощность поглощения льдом тепла из воздуха $\tilde{N} = \tilde{k} \Delta T$.
Решение:
1. Найдём, сколько дождевой воды попадает на лёд за время $t$. Капли дождя за это время пролетят расстояние $vt$, значит, та поверхность сосуда попадёт объём дождевой воды, равный $vtS$. Поэтому масса попавшей на поверхность воды будет равна $\rho vtS$.
Теперь запишем уравнение теплового баланса для льда, который успел расплавиться за время $t$. В лёд попало $\rho vtS$ воды при температуре $T_{0}$, которая затем остыла до температуры $0^{ \circ} C$. Таким образом от воды пришло $c_{в} \rho vtS(T_{0} - 0)$ тепла. Тут мы пренебрегаем кинетической энергией капель. Ведь кинетическая энергия 1 кг воды, летящей со скоростью 20 м/с (настоящие капли движутся медленнее) равна $\frac{1 \cdot 400}{2} Дж$. Её хватит, чтобы расплавить массу льда, равную $\frac{200}{3,4 \cdot 10^{5}} кг \approx 0,6 г$. Поэтому такое пренебрежение уместно.
Тепло, пришедшее в лёд из воздуха за это время будет равно $k \Delta Tt = k(T_{0} - 0)t$, ведь температура смеси льда и воды постоянна и равна $0^{ \circ} C$. Тут надо заметить, что в первые моменты, пока лёд практически не растаял, а дождевая вода не успела налиться сверху в достаточном количестве, тепло будет переходить не из воздуха в воду, а из воздуха в лёд. Однако, промежуток времени, пока это действительно будет так, мал, ведь за это время растает лишь малая часть льда.
Всё тепло, пришедшее в лёд, идёт на его плавление. За время $t$ расплавилась масса льда $m$, поэтому уравнение теплового баланса выглядит следующим образом:
$c_{в} \rho vtST_{0} + kT_{0}t = m \lambda$
Отсюда получаем время плавления:
$t = \frac{m \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} }$
2. Изменение массы льда выражается через время до того, как температура станет нулём (пусть $\tau$), линейно, ведь за это время на поверхности льда намёрзнет масса, равная $\rho v \tau S$, и, так как ответ зависит от массы льда линейно, изменение времени плавления льда легко выразить через $\tau$:
$\Delta t_{плавл} = \frac{ \Delta m \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } = \frac{ \rho vS \lambda }{c_{в} \rho v ST_{0} + kT_{0} } \tau$
Итак, значит, время плавления льда изменится на $\Delta t_{плавл}$. Но в изменение ответа входит ещё $\tau$, время до того момента, как температура льда станет равной $0^{ \circ} C$. Найдём его.
Итак, изначальная температура мало отличается от нулевой, поэтому можно считать её изменение линейным по времени. В начальный момент температура $T_{x}$, через время $\tau$ она $0^{ \circ} C$. Поэтому эта линейная зависимость: $T(t) = T_{x} + \alpha t$, $\alpha = \frac{T_{x} }{ \tau}$. Тогда напишем уравнение теплового баланса для нагревания льда за время $dt$, его температура меняется с $T$ на $T + dT = T + \alpha dt$.
Тепло, которое забрал лёд, равно $Q = c_{л}m \alpha dt$. Мы считаем тут массу льда постоянной, ведь по условию её изменение за всё время нагревания много меньше её самой. Заметим, что получившееся выражение первого порядка малости. Дальнейшие вычисления будем проводить с той же точностью.
Тепло, полученное льдом из капель будет равно $Q_{1} = \rho vdtS (c_{в}(T_{0} - 0) + \lambda + c_{л} (0 - T_{x}))$ (капли остывают, замерзают и остывают ещё). С учётом соотношений, данных в условии, понимаем, что первое и третье слагаемые малы по сравнению со вторым. Поэтому остаётся $Q_{1} \approx \rho vdtS \lambda$.
Тепло, полученное льдом из воздуха за этот короткий промежуток времени будет $Q_{2} = \tilde{N}_{cp} dt = \tilde{k}(T_{0} - T - \frac{1}{2} \alpha dt)dt$. Оставляя только члены первого порядка малости, получаем $Q_{2} = \tilde{k}(T_{0} - T)dt$. Далее заметим, что по условию изменение $T$ много меньше $T_{0} - 0$, поэтому вычитаемое в скобках можно опустить. Окончательно, $Q_{2} = \tilde{k}T_{0}dt$.
Итоговое уравнение теплового баланса:
$Q_{1} + Q_{2} = Q$
$\rho vdtS \lambda + \tilde{k}T_{0}dt = c_{л}m \alpha dt$
Сокращая $dt$, выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{ \rho vS \lambda + \tilde{k}T_{0} }{c_{л}m }$
А теперь можно получить ответ:
$\Delta t = \tau + \Delta t_{плавл} = \tau \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right ) = \frac{T_{x} }{ \alpha} \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right ) = \frac{T_{x} c_{л}m }{ \rho v S \lambda + \tilde{k}T_{0} } \left ( 1 + \frac{ \rho v S \lambda}{c_{в} \rho vST_{0} + kT_{0} } \right )$
