Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10055
2019-01-14 
Шайба может скользить по плоскости без трения. Плоскость поделена координатными осями X, Y на 4 части, в которых шайба движется с постоянными ускорениями, направленными вдоль биссектрис координатных углов, и по модулю равными $a$ (см. рис.). Шайбу запускают в этой плоскости из точки с координатами $(0, h)$ с некоторой скоростью. Докажите, что для любого $h$ можно выбрать начальную скорость так, чтобы её траектория оказалась замкнутой. Для построенной траектории найдите время одного оборота.
Решение:
Рассмотрим движение шайбы в первой четверти. Будем искать такую траекторию, что движение в остальных четвертях будет аналогичным движению в первой. Для этого достаточно, чтобы шайба пересекала ось X при выходе го первой четверти в точке $(h, 0)$ и двигалась со скоростью, по модулю равной начальной и направленной под тем же углом, что и начальная (но уже по отношению к другой оси). Тогда движение во второй четверти будет аналогичным движению в первой. А тогда движение в третьей четверти будет аналогичным движению во второй, а движение в четвёртой - аналогичным движению в третьей. И получится замкнутая траектория, ведь при выходе из 4 четверти шайба будет находиться в точке $(h, 0)$ и двигаться с начальной скоростью.
Выпустим шайбу с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$, перпендикулярной оси Y:
Заметим, что движение шайбы в плоскости с постоянным ускорением $\vec{a}$ аналогично движению тела в поле тяжести плоской земли с ускорением свободного падения $\vec{a}$. Поэтому рассмотрим тело, брошенное под углом $45^ {\circ}$ к горизонту. Его горизонтальная составляющая скорости сохраняется, а по закону сохранения энергии, если оно приземлится на том же уровне, что и стартовало, то модуль его скорости окажется равным модулю начальной скорости. Поэтому единственное ограничение, что накладывается на данное тело - оно должно приземлиться на расстоянии $\sqrt{2}h$ от места бросания.
Тогда имеем соотношение на горизонтальную составляющую скорости: $\frac{1}{ \sqrt{2} } v_{0}t = \sqrt{2}h \Rightarrow v_{0} = \frac{2h}{t}$, где $t$ - это время полёта тела до приземления. Можно написать уравнение перемещения тела по вертикальной оси (противонаправленной ускорению $\vec{a}$}): $\Delta r = \frac{1}{ \sqrt{2} } v_{0}t - \frac{at^{2} }{2}$, и тогда, так как $\Delta r = 0$, получавм $\frac{1}{ \sqrt{2} }v_{0}t = \frac{at^{2} }{2}$. Соотнося полученные уравнения имеем в итоге:
$\begin{cases} \sqrt{2}h = \frac{at^{2} }{2} \\ v_{0} = \frac{2h}{t} \end{cases}$
$\begin{cases} t = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{2}h }{a} } \\ v_{0} = \sqrt{ \sqrt{2} ha } \end{cases} $
А период такого движения, или время одного оборота будет $4t$.
Шайба может скользить по плоскости без трения. Плоскость поделена координатными осями X, Y на 4 части, в которых шайба движется с постоянными ускорениями, направленными вдоль биссектрис координатных углов, и по модулю равными $a$ (см. рис.). Шайбу запускают в этой плоскости из точки с координатами $(0, h)$ с некоторой скоростью. Докажите, что для любого $h$ можно выбрать начальную скорость так, чтобы её траектория оказалась замкнутой. Для построенной траектории найдите время одного оборота.
Решение:
Рассмотрим движение шайбы в первой четверти. Будем искать такую траекторию, что движение в остальных четвертях будет аналогичным движению в первой. Для этого достаточно, чтобы шайба пересекала ось X при выходе го первой четверти в точке $(h, 0)$ и двигалась со скоростью, по модулю равной начальной и направленной под тем же углом, что и начальная (но уже по отношению к другой оси). Тогда движение во второй четверти будет аналогичным движению в первой. А тогда движение в третьей четверти будет аналогичным движению во второй, а движение в четвёртой - аналогичным движению в третьей. И получится замкнутая траектория, ведь при выходе из 4 четверти шайба будет находиться в точке $(h, 0)$ и двигаться с начальной скоростью.
Выпустим шайбу с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$, перпендикулярной оси Y:
Заметим, что движение шайбы в плоскости с постоянным ускорением $\vec{a}$ аналогично движению тела в поле тяжести плоской земли с ускорением свободного падения $\vec{a}$. Поэтому рассмотрим тело, брошенное под углом $45^ {\circ}$ к горизонту. Его горизонтальная составляющая скорости сохраняется, а по закону сохранения энергии, если оно приземлится на том же уровне, что и стартовало, то модуль его скорости окажется равным модулю начальной скорости. Поэтому единственное ограничение, что накладывается на данное тело - оно должно приземлиться на расстоянии $\sqrt{2}h$ от места бросания.
Тогда имеем соотношение на горизонтальную составляющую скорости: $\frac{1}{ \sqrt{2} } v_{0}t = \sqrt{2}h \Rightarrow v_{0} = \frac{2h}{t}$, где $t$ - это время полёта тела до приземления. Можно написать уравнение перемещения тела по вертикальной оси (противонаправленной ускорению $\vec{a}$}): $\Delta r = \frac{1}{ \sqrt{2} } v_{0}t - \frac{at^{2} }{2}$, и тогда, так как $\Delta r = 0$, получавм $\frac{1}{ \sqrt{2} }v_{0}t = \frac{at^{2} }{2}$. Соотнося полученные уравнения имеем в итоге:
$\begin{cases} \sqrt{2}h = \frac{at^{2} }{2} \\ v_{0} = \frac{2h}{t} \end{cases}$
$\begin{cases} t = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{2}h }{a} } \\ v_{0} = \sqrt{ \sqrt{2} ha } \end{cases} $
А период такого движения, или время одного оборота будет $4t$.
