Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1005
2016-09-17 
В вертикальную стену на одной высоте вбиты два гвоздя. К одному гвоздю прикреплена невесомая нерастяжимая нить. На нить надето маленькое кольцо. Другой конец нити перекинут через второй гвоздь. К кольцу и к свободному концу нити прикреплены два одинаковых груза (см. рисунок). Определите ускорения грузов в момент прохождения ими положения равновесия, если в начальном положении нить между гвоздями была горизонтальна, а начальные скорости грузов были равны нулю. Ускорение свободного падения равно $g$. Трение не учитывайте.
Решение:
Обозначим через $2l$ расстояние между гвоздями, $\alpha$ — угол наклона нити к горизонту в некоторый момент времени, $T$ — силу её натяжения, $y_{1}$ и $y_{2}$ — смещения грузов 1 и 2 от начального положения, $v_{1}$ и $v_{2}$ — их скорости, $a_{1}$ и $a_{2}$ — ускорения (см. рис.). Запишем уравнения кинематической связи для грузов 1 и 2:
$y_{1} = ltg \alpha, y_{2} = 2 \left ( \frac{l}{ \cos \alpha} - l \right )$, (1)
$v_{2} = 2v_{1} \sin \alpha$, (2)
$\Delta \alpha = \Delta y_{1} \frac{ \cos \alpha}{ l / \cos \alpha}, \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v_{1}}{l} \cos^{2} \alpha$,
$a_{2} = \frac{ \Delta v_{2}}{ \Delta t} = 2v_{1} \cos \alpha \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} + 2 \sin \alpha \frac{ \Delta v_{1}}{ \Delta t} = 2 \frac{v_{1}^{2}}{l} \cos^{3} \alpha + 2a_{1} \sin \alpha$. (3)
Запишем закон сохранения механической энергии для грузов:
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} - mg y_{1} + mgy_{2} = 0$. (4)
Продифференцируем это соотношение по времени и разделим на массу груза $m$:
$v_{1} a_{1} + v_{2} a_{2} - g(v_{1} - v_{2})$. (5)
Равновесие системы определяется соотношением $2T_{0} \sin \alpha_{0} = T_{0}$, то есть $\sin \alpha_{0} = 1/2$, поэтому $v_{10} = v_{20}$, как следует из (2). При этом из соотношения (5) следует, что $a_{10} = — a_{20}$, a из (4) — что $v_{10}^{2} = g(y_{1} — y_{2})$. Тогда из соотношения (3) получаем, что $a_{10} = - \frac{v_{10}^{2}}{l} \cos^{3} \alpha_{0}$. Из (4) и (1) с учётом равенства $v_{10} = v_{20}$ следует, что $\frac{v_{10}^{2}}{l} = \frac{g}{ \cos \alpha_{0}} ( \sin \alpha_{0} - 2 + 2 \cos \alpha_{0})$. Отсюда окончательно получаем: $a_{10} = - a_{20} = — g( \sin \alpha_{0} -2 + 2 \cos \alpha_{0}) \cos^{2} \alpha_{0} = - \frac{ 3(2 \sqrt{3} - 2 )}{8} g \approx - 0,174g$. При этом оба вектора ускорений грузов направлены вверх! Необычность данной механической системы состоит в том, что в момент прохождения положения равновесия ускорения тел отличны от нуля.
В вертикальную стену на одной высоте вбиты два гвоздя. К одному гвоздю прикреплена невесомая нерастяжимая нить. На нить надето маленькое кольцо. Другой конец нити перекинут через второй гвоздь. К кольцу и к свободному концу нити прикреплены два одинаковых груза (см. рисунок). Определите ускорения грузов в момент прохождения ими положения равновесия, если в начальном положении нить между гвоздями была горизонтальна, а начальные скорости грузов были равны нулю. Ускорение свободного падения равно $g$. Трение не учитывайте.
Решение:
Обозначим через $2l$ расстояние между гвоздями, $\alpha$ — угол наклона нити к горизонту в некоторый момент времени, $T$ — силу её натяжения, $y_{1}$ и $y_{2}$ — смещения грузов 1 и 2 от начального положения, $v_{1}$ и $v_{2}$ — их скорости, $a_{1}$ и $a_{2}$ — ускорения (см. рис.). Запишем уравнения кинематической связи для грузов 1 и 2:
$y_{1} = ltg \alpha, y_{2} = 2 \left ( \frac{l}{ \cos \alpha} - l \right )$, (1)
$v_{2} = 2v_{1} \sin \alpha$, (2)
$\Delta \alpha = \Delta y_{1} \frac{ \cos \alpha}{ l / \cos \alpha}, \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v_{1}}{l} \cos^{2} \alpha$,
$a_{2} = \frac{ \Delta v_{2}}{ \Delta t} = 2v_{1} \cos \alpha \frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} + 2 \sin \alpha \frac{ \Delta v_{1}}{ \Delta t} = 2 \frac{v_{1}^{2}}{l} \cos^{3} \alpha + 2a_{1} \sin \alpha$. (3)
Запишем закон сохранения механической энергии для грузов:
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} - mg y_{1} + mgy_{2} = 0$. (4)
Продифференцируем это соотношение по времени и разделим на массу груза $m$:
$v_{1} a_{1} + v_{2} a_{2} - g(v_{1} - v_{2})$. (5)
Равновесие системы определяется соотношением $2T_{0} \sin \alpha_{0} = T_{0}$, то есть $\sin \alpha_{0} = 1/2$, поэтому $v_{10} = v_{20}$, как следует из (2). При этом из соотношения (5) следует, что $a_{10} = — a_{20}$, a из (4) — что $v_{10}^{2} = g(y_{1} — y_{2})$. Тогда из соотношения (3) получаем, что $a_{10} = - \frac{v_{10}^{2}}{l} \cos^{3} \alpha_{0}$. Из (4) и (1) с учётом равенства $v_{10} = v_{20}$ следует, что $\frac{v_{10}^{2}}{l} = \frac{g}{ \cos \alpha_{0}} ( \sin \alpha_{0} - 2 + 2 \cos \alpha_{0})$. Отсюда окончательно получаем: $a_{10} = - a_{20} = — g( \sin \alpha_{0} -2 + 2 \cos \alpha_{0}) \cos^{2} \alpha_{0} = - \frac{ 3(2 \sqrt{3} - 2 )}{8} g \approx - 0,174g$. При этом оба вектора ускорений грузов направлены вверх! Необычность данной механической системы состоит в том, что в момент прохождения положения равновесия ускорения тел отличны от нуля.
