Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10047
2019-01-14 
Изобретатель Нанайкин предлагает воздвигнуть на Южном полюсе Земли супершест, по которому созданные им аппараты смогут карабкаться прямо в космос. По проекту Нанайкина высота супершеста должна быть в 4 раза больше радиуса Земли. Спроектированный робот будет подниматься по супершесту, затрачивая на подъём фиксированную мощность двигателя. Кроме того, Нанайкин предупредил, что предусмотренная конструкцией скорость робота не может превосходить $v = 45 м/с$, даже если мощности двигателя для такого подъёма хватает. На испытаниях, проведённых на построенном специально стометровом шесте, оказалось, что робот поднимается равномерно, и скорость подъёма составляет $v_{0} = 5 м/c$. Найдите, за какое время робот Нанайкина преодолеет весь супершест. Радиус Земли $R_{0} = 6400 км$.
Решение:
При движении по шесту робот, имея массу $m$, преодолевает силу тяжести $mg$, затрачивая на это мощность своего двигателя $P$. Используя связь мощности с силой и скоростью, получим формулу для скорости $u$, с которой будет двигаться робот в данный момент:
$P = mgu$ (6)
У поверхности Земли величина ускорения свободного падения равна $g_{0} = \frac{GM}{R_{0}^{2}} = 9,8 м/с^{2}$ (где $M$ - масса Земли), причём $u$ оказалось равно известной величине $v_{0}$. Поэтому
$P = mg_{0}v_{0} = \frac{GMmv_{0} }{R_{0}^{2} }$. (7)
Мощность двигателя постоянна, поэтому, так как по мере подъёма робота величина $g$ будет уменьшаться, скорость робота $u$ станет увеличиваться. На некоторой критической высоте скорость робота сравняется с критической скоростью $v =45 м/с$, после чего робот по условию перестанет ускоряться. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти время ускоренного движения робота на участке шеста ниже критической точки, и время равномерного движения по участку выше критической точки.
Для начала найдем критическую точку. Обозначим через $R_{кр}$ расстояние от робота до центра Земли в момент, когда скорость подъёма сравнялась с $v$. Ускорение свободного падения в этот момент равно
$g = \frac{GM}{R_{кр}}$,
поэтому из (6)
$P = m \frac{GM}{R_{кр}^{2}} v \Rightarrow R_{кр} = \sqrt{ \frac{GMmv}{P} } = R_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } }$,
где в последнюю формулу мы подставили $P$ из (7). Численные значения $v$ и $v_{0}$ показывают, что $R_{кр} = 3R_{0}$, так что выше этой точки робот должен преодолеть оставшийся кусок шеста $R_{0}$ с постоянной скоростью $v$. Очевидно, на это потребуется время
$t_{выше \: кр} = \frac{R_{0} }{v}$ (8)
Найдём теперь время, за которое робот поднимется до критической высоты. Понятно, что не только скорость робота $u$ будет меняться на этом этапе движения, но также и ускорение. Готовых формул для вычисления времени такого движения у нас нет. Придётся разбить путь робота на маленькие отрезки $x$, такие, чтобы скорость $u$ одном отрезке менялась пренебрежимо мало, и движение на отрезке можно было бы считать равномерным (как, например, на стометровом отрезке на испытаниях). На каждом таком отрезке время движения равно $\Delta t = x/u$. Подставив сюда и из (6) получим
$\Delta t = \frac{x}{u} = \frac{mgx}{P}$.
Заметим, что время подъёма по рассматриваемому отрезку пропорционально (с коэффициентом пропорциональности $1/P$) увеличению потенциальной энергии робота при подъёме на этот отрезок. Просуммировав $\Delta t$ от всех отрезков, получим (обозначив через $\Pi_{кр}$ потенциальную энергию робота в гравитационном поле Земли на критической высоте, и через $\Pi_{0}$ его потенциальную энергию у поверхности Земли), что полное время подъёма c поверхности до критической высоты
$t_{ниже \: кр} = \frac{ \Pi_{кр} - \Pi_{0}}{P}$. (9)
Осталось лишь сообразить, как считать потенциальную энергию робота в гравитационном поле в случае, когда сила тяжести меняется. Здесь нам поможет знание потенциальной энергии в электростатике. Действительно, сила притяжения к Земле меняется с расстоянием $R$ до центра Земли по тому же закону, что и сила притяжения между противоположно заряженными точечными телами на расстоянии $R$ друг от друга, достаточно заменить массы $m$ и $M$ на заряды $q$ и $- Q$, а гравитационную постоянную $G$ на электрическую постоянную $k$. Значит, взяв известную формулу энергии точечных зарядов, и произведя в ней обратную замену, получим требуемое выражение:
$\Pi_{электрост} = \frac{kQq}{R} \rightarrow \Pi_{гравитац} = - \frac{GMm}{R}$.
Поэтому
$\Pi_{кр} = - \frac{GMm}{R_{кр} }, \Pi_{0} = - \frac{GMm}{R_{0} }$.
Подставляя это в (9) и используя (7), получим
$t_{ниже \: кр} = - \frac{1}{P} \left ( \frac{GMm}{R_{кр} } - \frac{GMm}{R_{0} } \right ) = - \frac{R_{0}^{2} }{GMmv_{0} } \left ( \frac{GMm}{R_{кр} } - \frac{GMm}{R_{0} } \right ) = \frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \frac{R_{0} }{R_{кр} } \right )$.
Подставляя сюда $R_{кр}$, получим
$t_{ниже \: кр} = \frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \sqrt{ \frac{v_{0} }{v}} \right )$
Складывая $t_{ниже \: кр}$ и $t_{выше \: кр}$, получим ответ.
Замечание: Вместо разбиения шеста на малые отрезки и суммирования времён $\Delta t$, можно сразу из энергетических соображений написать
$Pt_{ниже \: кр} = \Delta \Pi + \Delta K$,
где $\Delta \Pi$ и $\Delta K$ - изменение потенциальной и кинетической энергии робота за время $t_{ниже \: кр}$. По условию $| \Delta K| \ll | \Delta \Pi |$, что немедленно приводит нас к ф-ле (9).
Ответ: Робот будет подниматься в течение времени
$\frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \sqrt{ \frac{v_{0} }{v} } \right ) + \frac{R_{0} }{v} \approx 99,6 \cdot 10^{4} с \approx 277 ч$
Изобретатель Нанайкин предлагает воздвигнуть на Южном полюсе Земли супершест, по которому созданные им аппараты смогут карабкаться прямо в космос. По проекту Нанайкина высота супершеста должна быть в 4 раза больше радиуса Земли. Спроектированный робот будет подниматься по супершесту, затрачивая на подъём фиксированную мощность двигателя. Кроме того, Нанайкин предупредил, что предусмотренная конструкцией скорость робота не может превосходить $v = 45 м/с$, даже если мощности двигателя для такого подъёма хватает. На испытаниях, проведённых на построенном специально стометровом шесте, оказалось, что робот поднимается равномерно, и скорость подъёма составляет $v_{0} = 5 м/c$. Найдите, за какое время робот Нанайкина преодолеет весь супершест. Радиус Земли $R_{0} = 6400 км$.
Решение:
При движении по шесту робот, имея массу $m$, преодолевает силу тяжести $mg$, затрачивая на это мощность своего двигателя $P$. Используя связь мощности с силой и скоростью, получим формулу для скорости $u$, с которой будет двигаться робот в данный момент:
$P = mgu$ (6)
У поверхности Земли величина ускорения свободного падения равна $g_{0} = \frac{GM}{R_{0}^{2}} = 9,8 м/с^{2}$ (где $M$ - масса Земли), причём $u$ оказалось равно известной величине $v_{0}$. Поэтому
$P = mg_{0}v_{0} = \frac{GMmv_{0} }{R_{0}^{2} }$. (7)
Мощность двигателя постоянна, поэтому, так как по мере подъёма робота величина $g$ будет уменьшаться, скорость робота $u$ станет увеличиваться. На некоторой критической высоте скорость робота сравняется с критической скоростью $v =45 м/с$, после чего робот по условию перестанет ускоряться. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти время ускоренного движения робота на участке шеста ниже критической точки, и время равномерного движения по участку выше критической точки.
Для начала найдем критическую точку. Обозначим через $R_{кр}$ расстояние от робота до центра Земли в момент, когда скорость подъёма сравнялась с $v$. Ускорение свободного падения в этот момент равно
$g = \frac{GM}{R_{кр}}$,
поэтому из (6)
$P = m \frac{GM}{R_{кр}^{2}} v \Rightarrow R_{кр} = \sqrt{ \frac{GMmv}{P} } = R_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } }$,
где в последнюю формулу мы подставили $P$ из (7). Численные значения $v$ и $v_{0}$ показывают, что $R_{кр} = 3R_{0}$, так что выше этой точки робот должен преодолеть оставшийся кусок шеста $R_{0}$ с постоянной скоростью $v$. Очевидно, на это потребуется время
$t_{выше \: кр} = \frac{R_{0} }{v}$ (8)
Найдём теперь время, за которое робот поднимется до критической высоты. Понятно, что не только скорость робота $u$ будет меняться на этом этапе движения, но также и ускорение. Готовых формул для вычисления времени такого движения у нас нет. Придётся разбить путь робота на маленькие отрезки $x$, такие, чтобы скорость $u$ одном отрезке менялась пренебрежимо мало, и движение на отрезке можно было бы считать равномерным (как, например, на стометровом отрезке на испытаниях). На каждом таком отрезке время движения равно $\Delta t = x/u$. Подставив сюда и из (6) получим
$\Delta t = \frac{x}{u} = \frac{mgx}{P}$.
Заметим, что время подъёма по рассматриваемому отрезку пропорционально (с коэффициентом пропорциональности $1/P$) увеличению потенциальной энергии робота при подъёме на этот отрезок. Просуммировав $\Delta t$ от всех отрезков, получим (обозначив через $\Pi_{кр}$ потенциальную энергию робота в гравитационном поле Земли на критической высоте, и через $\Pi_{0}$ его потенциальную энергию у поверхности Земли), что полное время подъёма c поверхности до критической высоты
$t_{ниже \: кр} = \frac{ \Pi_{кр} - \Pi_{0}}{P}$. (9)
Осталось лишь сообразить, как считать потенциальную энергию робота в гравитационном поле в случае, когда сила тяжести меняется. Здесь нам поможет знание потенциальной энергии в электростатике. Действительно, сила притяжения к Земле меняется с расстоянием $R$ до центра Земли по тому же закону, что и сила притяжения между противоположно заряженными точечными телами на расстоянии $R$ друг от друга, достаточно заменить массы $m$ и $M$ на заряды $q$ и $- Q$, а гравитационную постоянную $G$ на электрическую постоянную $k$. Значит, взяв известную формулу энергии точечных зарядов, и произведя в ней обратную замену, получим требуемое выражение:
$\Pi_{электрост} = \frac{kQq}{R} \rightarrow \Pi_{гравитац} = - \frac{GMm}{R}$.
Поэтому
$\Pi_{кр} = - \frac{GMm}{R_{кр} }, \Pi_{0} = - \frac{GMm}{R_{0} }$.
Подставляя это в (9) и используя (7), получим
$t_{ниже \: кр} = - \frac{1}{P} \left ( \frac{GMm}{R_{кр} } - \frac{GMm}{R_{0} } \right ) = - \frac{R_{0}^{2} }{GMmv_{0} } \left ( \frac{GMm}{R_{кр} } - \frac{GMm}{R_{0} } \right ) = \frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \frac{R_{0} }{R_{кр} } \right )$.
Подставляя сюда $R_{кр}$, получим
$t_{ниже \: кр} = \frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \sqrt{ \frac{v_{0} }{v}} \right )$
Складывая $t_{ниже \: кр}$ и $t_{выше \: кр}$, получим ответ.
Замечание: Вместо разбиения шеста на малые отрезки и суммирования времён $\Delta t$, можно сразу из энергетических соображений написать
$Pt_{ниже \: кр} = \Delta \Pi + \Delta K$,
где $\Delta \Pi$ и $\Delta K$ - изменение потенциальной и кинетической энергии робота за время $t_{ниже \: кр}$. По условию $| \Delta K| \ll | \Delta \Pi |$, что немедленно приводит нас к ф-ле (9).
Ответ: Робот будет подниматься в течение времени
$\frac{R_{0} }{v_{0} } \left ( 1 - \sqrt{ \frac{v_{0} }{v} } \right ) + \frac{R_{0} }{v} \approx 99,6 \cdot 10^{4} с \approx 277 ч$
