Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10046
2019-01-14 
Однородный кусок диэлектрического пластилина равномерно заряжен по объёму, его полный заряд равен $Q$. От куска отделили долю, составляющую ц процентов, и слепили из неё сферу, внешний радиус которой равен $R$. Из оставшегося куска слепили вторую сферу с таким же внешним радиусом. Сферы расположили вплотную, а затем отпустили, так что они, за счёт электрического отталкивания друг от друга, далеко разлетелись. Найдите кинетическую энергию первой сферы после разлёта на большое расстояние. При каком $\eta$ эта энергия максимальна? Считайте, что разлетающиеся сферы не взаимодействуют с другими телами.
Решение:
Обозначим массу всего пластилина $M$. Введём $x = \eta /100$% - долю пластилина в первом куске. Тогда масса и заряд первого куска равны $xM$ и $xQ$, а второго куска, соответственно, $(1 - x)M$ и $(1 - x)Q$. Обозначим скорости первого и второго куска после того, как они разлетятся далеко через $V_{1}$ и $V_{2}$.
На разлетающиеся куски не действуют внешние силы, поэтому суммарный импульс системы после разлёта не изменился и остался равным нулю:
$MxV_{1} = M(1 - x)V_{2}$. (3)
Кинетическая энергия системы в конце образовалась за счёт того, что в начальный момент система обладала потенциальной энергией электростатического взаимодействия. Эта энергия в случае сферических кусков соответствует энергии взаимодействия двух точечных зарядов $xQ$ и $(1 - x)Q$ на расстоянии $2R$ друг от друга. Условеие сохранения энергии можно записать при этом в виде
$\frac{kQ^{2}x(1 - x)}{2R} = \frac{xMV_{1}^{2} }{2} + \frac{(1 - x)MV_{2}^{2} }{2}$, (4)
где слагаемые в правой части соответствуют конечной кинетической энергии первой и второй сферы.
Для вычисления кинетической энергии первой сферы из уравнений (3,4) требуется найти $V_{1}$. Учитывая, что второе слагаемое в (4) записывается в виде
$\frac{(1 - x)MV_{2}^{2}}{2} = \frac{((1 - x)MV_{2})^{2}}{2(1- x)M}$,
и подставляя сюда в числитель левую часть выражения (3) вместо правой
$\frac{((1 - x)MV_{2})^{2}}{2(1-x)M} = \frac{(MxV_{1} )^{2} }{2(1 - x)M}$,
перепишем (4) в виде
$\frac{kQ^{2}x(1 - x)}{2R} = \frac{xMV_{1}^{2} }{2} + \frac{x^{2}MV_{1}^{2} }{2(1 - x)}$,
Отсюда легко теперь получить
$V_{1}^{2} = \frac{k(1 - x)^{2}Q^{2}}{RM}$
Кинетическая энергия первой сферы теперь преобразуется к виду
$\frac{xMV_{1}^{2}}{2} = \frac{xM}{2} \frac{k(1 - x)^{2}Q^{2} }{RM}$ (5)
Максимум этого выражения определяется максимумом функции
$f(x) = x(1 - x)^{2} = x - 2x^{2} + x^{3}$.
Производная $f^{ \prime}(x) = 1 - 4x + 3x^{2}$ обращается в ноль при $x = (2 \pm \sqrt{1})/3$. Легко вычислить, что этих двух решений именно $x = 1/3$ соответствует максимуму функции ($f^{ \prime \prime}(1/3) < 0$).
Остаётся лишь записать ответ (5), связав $x$ и $\eta$
Ответ: Кинетическая энергия первой сферы
$\frac{k \eta (100 - \eta)^{2}Q^{2}}{2R(100)^{3}}$.
Это выражение максимально при $\eta = (1/3) \cdot 100%$.
Однородный кусок диэлектрического пластилина равномерно заряжен по объёму, его полный заряд равен $Q$. От куска отделили долю, составляющую ц процентов, и слепили из неё сферу, внешний радиус которой равен $R$. Из оставшегося куска слепили вторую сферу с таким же внешним радиусом. Сферы расположили вплотную, а затем отпустили, так что они, за счёт электрического отталкивания друг от друга, далеко разлетелись. Найдите кинетическую энергию первой сферы после разлёта на большое расстояние. При каком $\eta$ эта энергия максимальна? Считайте, что разлетающиеся сферы не взаимодействуют с другими телами.
Решение:
Обозначим массу всего пластилина $M$. Введём $x = \eta /100$% - долю пластилина в первом куске. Тогда масса и заряд первого куска равны $xM$ и $xQ$, а второго куска, соответственно, $(1 - x)M$ и $(1 - x)Q$. Обозначим скорости первого и второго куска после того, как они разлетятся далеко через $V_{1}$ и $V_{2}$.
На разлетающиеся куски не действуют внешние силы, поэтому суммарный импульс системы после разлёта не изменился и остался равным нулю:
$MxV_{1} = M(1 - x)V_{2}$. (3)
Кинетическая энергия системы в конце образовалась за счёт того, что в начальный момент система обладала потенциальной энергией электростатического взаимодействия. Эта энергия в случае сферических кусков соответствует энергии взаимодействия двух точечных зарядов $xQ$ и $(1 - x)Q$ на расстоянии $2R$ друг от друга. Условеие сохранения энергии можно записать при этом в виде
$\frac{kQ^{2}x(1 - x)}{2R} = \frac{xMV_{1}^{2} }{2} + \frac{(1 - x)MV_{2}^{2} }{2}$, (4)
где слагаемые в правой части соответствуют конечной кинетической энергии первой и второй сферы.
Для вычисления кинетической энергии первой сферы из уравнений (3,4) требуется найти $V_{1}$. Учитывая, что второе слагаемое в (4) записывается в виде
$\frac{(1 - x)MV_{2}^{2}}{2} = \frac{((1 - x)MV_{2})^{2}}{2(1- x)M}$,
и подставляя сюда в числитель левую часть выражения (3) вместо правой
$\frac{((1 - x)MV_{2})^{2}}{2(1-x)M} = \frac{(MxV_{1} )^{2} }{2(1 - x)M}$,
перепишем (4) в виде
$\frac{kQ^{2}x(1 - x)}{2R} = \frac{xMV_{1}^{2} }{2} + \frac{x^{2}MV_{1}^{2} }{2(1 - x)}$,
Отсюда легко теперь получить
$V_{1}^{2} = \frac{k(1 - x)^{2}Q^{2}}{RM}$
Кинетическая энергия первой сферы теперь преобразуется к виду
$\frac{xMV_{1}^{2}}{2} = \frac{xM}{2} \frac{k(1 - x)^{2}Q^{2} }{RM}$ (5)
Максимум этого выражения определяется максимумом функции
$f(x) = x(1 - x)^{2} = x - 2x^{2} + x^{3}$.
Производная $f^{ \prime}(x) = 1 - 4x + 3x^{2}$ обращается в ноль при $x = (2 \pm \sqrt{1})/3$. Легко вычислить, что этих двух решений именно $x = 1/3$ соответствует максимуму функции ($f^{ \prime \prime}(1/3) < 0$).
Остаётся лишь записать ответ (5), связав $x$ и $\eta$
Ответ: Кинетическая энергия первой сферы
$\frac{k \eta (100 - \eta)^{2}Q^{2}}{2R(100)^{3}}$.
Это выражение максимально при $\eta = (1/3) \cdot 100%$.
