Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10044
2019-01-14 
Имеется сосуд $U$ - образной формы с прямыми стенками (см. рис. а): его дно имеет площадь $2S$, а два горлышка - площадь $S$ каждое. Масса сосуда M, объём V. Стенки сосуда тонкие. Большой бассейн разделили вертикальной перегородкой на два отсека и надели на перегородку перевёрнутый $U$-образный сосуд, как это показано на рис. б. Расстояние от нижнего края сосуда до дна бассейна равно $L$. В отсеки бассейна начали наливать жидкость плотностью $\rho$, причем подъём уровня жидкости в каждом отсеке бассейна строго отрегулирован: у правой стенки бассейна скорость подъёма уровня всегда равна $v$, а у левой стенки - в два раза больше. Определите, через какое время сосуд всплывёт (считать, что это происходит до того, как жидкость поднимется до перегородки). Атмосферное давление равно $p_{0}$, ускорение свободного падения $g$. Температуру считать постоянной.
Решение:
При подъёме жидкости в бассейне она в некоторый момент достигнет нижнего края перевёрнутого сосуда. Как только это произойдёт и с правым, и с левым коленом U-образного сосуда, газ в нём будет отрезан от атмосферы. Соответствующий момент времени $t_{1}$ изображён на рис. 1. При дальнейшем подъёме жидкости в бассейне давление запертого в сосуде газа будет возрастать. Ещё через некоторое время $t_{2}$ сила давления этого газа, действующая на дно сосуда вверх, может превысить вес сосуда. В этот момент сосуд всплывёт.
Газ в сосуде будет изолирован от атмосферы в момент, когда жидкость в правом отсеке бассейна поднимется до уровня $L$, т.е. при $t_{1} = L/v$. В этот момент в левом отсеке бассейна жидкость будет уже на уровне $2L$, и вытеснит из сосуда объём $LS$. Значит, объём воздуха, запертый в сосуде, будет равен $V_{1} = V - LS$. Давление этого воздуха в момент запирания равно, очевидно, $p_{0}$.
При $t > t_{1}$ уровни жидкости в бассейне и сосуде станут различными. Будем отсчитывать уровень воды в сосуде от его нижней кромки. Пусть в момент всплывания уровень в правом колене U-образного сосуда ниже, чем в правом отсеке бассейна на $h$. Тогда давление воздуха в сосуде на $\Delta p = \rho gh$ больше атмосферного. Но так же можно рассуждать, рассматривая левое колено U-образного сосуда и левый отсек бассейна. Поскольку давление запертого воздуха в левом и правом коленах сосуда выравниваются, получаем, что уровень жидкости в U-образном сосуде ниже уровня в бассейне на одну и ту же величину $h$ и для левой и для правой части системы.
Итак, в момент всплытия в правое колено сосуда успеет поступить вода до уровня $vt_{2} - h$, а в левое колено - до уровня $L + 2vt_{2} - h$ (см. рис. 2), то есть объём воздуха в сосуде в этот момент составит
$V_{2} = V - S (vt_{2} - h) - S (L + 2vt_{2} - h) = V - LS - 3vt_{2}S + 2Sh$.
Давление этого воздуха будет $p_{0} + \Delta p$.
Запишем условие, что газ сжимается от объёма $V_{1}$ до $V_{2}$ изотермически:
$p_{0}V_{1} = (p_{0} + \Delta p)V_{2} \Rightarrow p_{0} (V - LS) = (p_{0} + \Delta p)(У - LS - 3vt_{2}S + 2Sh)$ (2)
Давление газа на дно сосуда $2S$ создаёт выталкивающую силу $2S \Delta p$, поэтому условие всплывания сосуда имеет вид $2S \Delta p = Mg$, откуда
$\Delta p = \frac{Mg}{2S}, h = \frac{ \Delta p}{ \rho g} = \frac{M}{2 S \rho}$.
Подставляя это в (2), получим
$p_{0}(V - LS) = \left ( p_{0} + \frac{Mg}{2S} \right ) \left ( V - LS - 3vt_{2}S + \frac{M}{ \rho} \right )$.
Отсюда несложно выразить $t_{2}$:
$t_{2} = \frac{V}{3Sv} - \frac{L}{3v} - \frac{2p_{0}(V - LS) }{6Svp_{0} + 3Mgv } + \frac{M}{3Sv \rho}$,
Прибавив сюда $t_{1} = L/v$, получаем ответ.
Ответ: сосуд всплывёт через время
Имеется сосуд $U$ - образной формы с прямыми стенками (см. рис. а): его дно имеет площадь $2S$, а два горлышка - площадь $S$ каждое. Масса сосуда M, объём V. Стенки сосуда тонкие. Большой бассейн разделили вертикальной перегородкой на два отсека и надели на перегородку перевёрнутый $U$-образный сосуд, как это показано на рис. б. Расстояние от нижнего края сосуда до дна бассейна равно $L$. В отсеки бассейна начали наливать жидкость плотностью $\rho$, причем подъём уровня жидкости в каждом отсеке бассейна строго отрегулирован: у правой стенки бассейна скорость подъёма уровня всегда равна $v$, а у левой стенки - в два раза больше. Определите, через какое время сосуд всплывёт (считать, что это происходит до того, как жидкость поднимется до перегородки). Атмосферное давление равно $p_{0}$, ускорение свободного падения $g$. Температуру считать постоянной.
Решение:
При подъёме жидкости в бассейне она в некоторый момент достигнет нижнего края перевёрнутого сосуда. Как только это произойдёт и с правым, и с левым коленом U-образного сосуда, газ в нём будет отрезан от атмосферы. Соответствующий момент времени $t_{1}$ изображён на рис. 1. При дальнейшем подъёме жидкости в бассейне давление запертого в сосуде газа будет возрастать. Ещё через некоторое время $t_{2}$ сила давления этого газа, действующая на дно сосуда вверх, может превысить вес сосуда. В этот момент сосуд всплывёт.
Газ в сосуде будет изолирован от атмосферы в момент, когда жидкость в правом отсеке бассейна поднимется до уровня $L$, т.е. при $t_{1} = L/v$. В этот момент в левом отсеке бассейна жидкость будет уже на уровне $2L$, и вытеснит из сосуда объём $LS$. Значит, объём воздуха, запертый в сосуде, будет равен $V_{1} = V - LS$. Давление этого воздуха в момент запирания равно, очевидно, $p_{0}$.
При $t > t_{1}$ уровни жидкости в бассейне и сосуде станут различными. Будем отсчитывать уровень воды в сосуде от его нижней кромки. Пусть в момент всплывания уровень в правом колене U-образного сосуда ниже, чем в правом отсеке бассейна на $h$. Тогда давление воздуха в сосуде на $\Delta p = \rho gh$ больше атмосферного. Но так же можно рассуждать, рассматривая левое колено U-образного сосуда и левый отсек бассейна. Поскольку давление запертого воздуха в левом и правом коленах сосуда выравниваются, получаем, что уровень жидкости в U-образном сосуде ниже уровня в бассейне на одну и ту же величину $h$ и для левой и для правой части системы.
Итак, в момент всплытия в правое колено сосуда успеет поступить вода до уровня $vt_{2} - h$, а в левое колено - до уровня $L + 2vt_{2} - h$ (см. рис. 2), то есть объём воздуха в сосуде в этот момент составит
$V_{2} = V - S (vt_{2} - h) - S (L + 2vt_{2} - h) = V - LS - 3vt_{2}S + 2Sh$.
Давление этого воздуха будет $p_{0} + \Delta p$.
Запишем условие, что газ сжимается от объёма $V_{1}$ до $V_{2}$ изотермически:
$p_{0}V_{1} = (p_{0} + \Delta p)V_{2} \Rightarrow p_{0} (V - LS) = (p_{0} + \Delta p)(У - LS - 3vt_{2}S + 2Sh)$ (2)
Давление газа на дно сосуда $2S$ создаёт выталкивающую силу $2S \Delta p$, поэтому условие всплывания сосуда имеет вид $2S \Delta p = Mg$, откуда
$\Delta p = \frac{Mg}{2S}, h = \frac{ \Delta p}{ \rho g} = \frac{M}{2 S \rho}$.
Подставляя это в (2), получим
$p_{0}(V - LS) = \left ( p_{0} + \frac{Mg}{2S} \right ) \left ( V - LS - 3vt_{2}S + \frac{M}{ \rho} \right )$.
Отсюда несложно выразить $t_{2}$:
$t_{2} = \frac{V}{3Sv} - \frac{L}{3v} - \frac{2p_{0}(V - LS) }{6Svp_{0} + 3Mgv } + \frac{M}{3Sv \rho}$,
Прибавив сюда $t_{1} = L/v$, получаем ответ.
Ответ: сосуд всплывёт через время
