Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10042
2019-01-14 
Две игрушечные пушки покоятся на гладком столе на некотором расстоянии друг от друга (см. рис.). Каждая пушка имеет массу $m$; ствол жестко закреплен под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Левая пушка стреляет шариком массы $m$ и попадает в правую пушку. Правая пушка тут же стреляет этим же шариком и также попадает — в левую пушку. Во сколько раз начальная скорость второго выстрела была больше начальной скорости первого? Начальную скорость выстрела определяйте в системе отсчёта пушки, которая его производит. Трением пушек о стол и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Разберёмся, с какой скоростью вылетит из первой пушки снаряд относительно земли. Обозначим скорость вылета снаряда из первой пушки в системе отсчёта самой пушки через $v$. Если бы пушка была закреплена, снаряд, вылетая из неё, имел бы вертикальную скорость $v \sin \alpha$ и горизонтальную $v \cos \alpha$. Однако, пушка расположена на гладком столе и не закреплена, поэтому она испытает отдачу, за счёт чего приобретёт горизонтальную скорость вдоль стола в сторону, противоположную выстрелу. Так как массы пушки и снаряда одинаковы, и на систему "пушка + снаряд" не действуют внешние горизонтальные силы, суммарный горизонтальный импульс системы "пушка + снаряд" останется таким же как до выстрела - нулевым. Это значит, в неподвижной системе отсчёта после выстрела пушка поедет со скоростью $(v \cos а)/2$, и такую же начальную горизонтальную скорость будет иметь снаряд. Заметим, что горизонтальная скорость вылета снаряда в неподвижной системе отсчёта изменилась, однако скорость удаления снаряда от пушки по-прежнему равна $v \cos \alpha$. Отметим, что вертикальная скорость снаряда при переходе в неподвижную систему отсчёта не изменилась.
Обозначим время полёта снаряда до второй пушки через $t$. За это время первая пушка и снаряд будут удаляться друг от друга по горизонтали с постоянной скоростью, и в момент первого попадания снаряда окажутся друг от друга на расстоянии $L = vt \cos \alpha$.
Когда снаряд попадёт во вторую пушку, та приобретёт горизонтальную скорость, которую несложно найти по закон сохранения импульса (поскольку горизонтальные внешние силы на систему "снаряд + вторая пушка" также не действуют). Горизонтальный импульс снаряда $(mv \cos \alpha)/2$ обеспечит совместное горизонтальное движение второй пушки с попавшим в неё снарядом, то есть системе массой $2m$. Скорость этого движения будет, очевидно $(v \cos \alpha)/4$, а импульс (горизонтальный) будет равен $2m(v \cos \alpha)/4$.
Пусть вторая пушка имеет в $\lambda$ раз большую начальную скорость выстрела (в своей системе отсчёта). Как мы уже выясняли, это означает, что в системе отсчёта самой пушки снаряд имеет вертикальную скорость $\lambda v \sin \alpha$ и горизонтальную $\lambda v \cos \alpha$. В неподвижной системе, связанной с землёй, горизонтальная скорость снаряда снова изменится из-за отдачи пушки. Однако, горизонтальная скорость удаления снаряда от второй пушки после второго выстрела одинакова во всех системах отсчёта и равна $\lambda v \cos \alpha$. Значит, если обозначить через $u$ горизонтальную скорость вылета снаряда в неподвижной системе, пушка поедет в противоположную сторону со скоростью $\lambda v \cos \alpha - u$.
Закон сохранения горизонтальной составляющей импульса до и после второго выстрела будет иметь вид
$\frac{2m(v \cos \alpha)}{4} = m( \lambda v \cos \alpha - u) - mu$.
Выражая отсюда $u$, получим
$u = \frac{v(2 \lambda - 1 ) \cos \alpha }{4}$.
Так как при втором выстреле вертикальная компонента скорости вылета снаряда увеличилась по сравнению с первым выстрелом в $\lambda$ раз, время полёта при втором выстреле также увеличится в $\lambda$ раз и составит $\lambda t$. Горизонтальная компонента скорости сближения снаряда и первой пушки равна $v_{сближ} = u - v( \cos \alpha)/2$. За время $\lambda t$ снаряд должен преодолеть, двигаясь с этой скоростью, расстояние $L$. Поэтому
$L = v_{сближ} \lambda t$.
Подставляя сюда $v_{сближ}$ и $L$, получим
$vt \cos \alpha = \lambda t \left ( \frac{v( 2 \lambda - 1) \cos \alpha}{4} - \frac{v \cos \alpha}{2} \right ) \Rightarrow 1 = \lambda \left ( \frac{ \lambda}{2} - \frac{3}{4} \right )$.
Это - квадратное уравнение на $\lambda$, которое легко привести к виду $2 \lambda^{2} - 3 \lambda - 4 = 0$, у которого имеется единственный положительный корень, равный
$\lambda = \frac{3 + \sqrt{41} }{4}$.
Ответ: Вторая пушка должна стрелять с в $\lambda = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ раза большей начальной скоростью.
Две игрушечные пушки покоятся на гладком столе на некотором расстоянии друг от друга (см. рис.). Каждая пушка имеет массу $m$; ствол жестко закреплен под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Левая пушка стреляет шариком массы $m$ и попадает в правую пушку. Правая пушка тут же стреляет этим же шариком и также попадает — в левую пушку. Во сколько раз начальная скорость второго выстрела была больше начальной скорости первого? Начальную скорость выстрела определяйте в системе отсчёта пушки, которая его производит. Трением пушек о стол и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Разберёмся, с какой скоростью вылетит из первой пушки снаряд относительно земли. Обозначим скорость вылета снаряда из первой пушки в системе отсчёта самой пушки через $v$. Если бы пушка была закреплена, снаряд, вылетая из неё, имел бы вертикальную скорость $v \sin \alpha$ и горизонтальную $v \cos \alpha$. Однако, пушка расположена на гладком столе и не закреплена, поэтому она испытает отдачу, за счёт чего приобретёт горизонтальную скорость вдоль стола в сторону, противоположную выстрелу. Так как массы пушки и снаряда одинаковы, и на систему "пушка + снаряд" не действуют внешние горизонтальные силы, суммарный горизонтальный импульс системы "пушка + снаряд" останется таким же как до выстрела - нулевым. Это значит, в неподвижной системе отсчёта после выстрела пушка поедет со скоростью $(v \cos а)/2$, и такую же начальную горизонтальную скорость будет иметь снаряд. Заметим, что горизонтальная скорость вылета снаряда в неподвижной системе отсчёта изменилась, однако скорость удаления снаряда от пушки по-прежнему равна $v \cos \alpha$. Отметим, что вертикальная скорость снаряда при переходе в неподвижную систему отсчёта не изменилась.
Обозначим время полёта снаряда до второй пушки через $t$. За это время первая пушка и снаряд будут удаляться друг от друга по горизонтали с постоянной скоростью, и в момент первого попадания снаряда окажутся друг от друга на расстоянии $L = vt \cos \alpha$.
Когда снаряд попадёт во вторую пушку, та приобретёт горизонтальную скорость, которую несложно найти по закон сохранения импульса (поскольку горизонтальные внешние силы на систему "снаряд + вторая пушка" также не действуют). Горизонтальный импульс снаряда $(mv \cos \alpha)/2$ обеспечит совместное горизонтальное движение второй пушки с попавшим в неё снарядом, то есть системе массой $2m$. Скорость этого движения будет, очевидно $(v \cos \alpha)/4$, а импульс (горизонтальный) будет равен $2m(v \cos \alpha)/4$.
Пусть вторая пушка имеет в $\lambda$ раз большую начальную скорость выстрела (в своей системе отсчёта). Как мы уже выясняли, это означает, что в системе отсчёта самой пушки снаряд имеет вертикальную скорость $\lambda v \sin \alpha$ и горизонтальную $\lambda v \cos \alpha$. В неподвижной системе, связанной с землёй, горизонтальная скорость снаряда снова изменится из-за отдачи пушки. Однако, горизонтальная скорость удаления снаряда от второй пушки после второго выстрела одинакова во всех системах отсчёта и равна $\lambda v \cos \alpha$. Значит, если обозначить через $u$ горизонтальную скорость вылета снаряда в неподвижной системе, пушка поедет в противоположную сторону со скоростью $\lambda v \cos \alpha - u$.
Закон сохранения горизонтальной составляющей импульса до и после второго выстрела будет иметь вид
$\frac{2m(v \cos \alpha)}{4} = m( \lambda v \cos \alpha - u) - mu$.
Выражая отсюда $u$, получим
$u = \frac{v(2 \lambda - 1 ) \cos \alpha }{4}$.
Так как при втором выстреле вертикальная компонента скорости вылета снаряда увеличилась по сравнению с первым выстрелом в $\lambda$ раз, время полёта при втором выстреле также увеличится в $\lambda$ раз и составит $\lambda t$. Горизонтальная компонента скорости сближения снаряда и первой пушки равна $v_{сближ} = u - v( \cos \alpha)/2$. За время $\lambda t$ снаряд должен преодолеть, двигаясь с этой скоростью, расстояние $L$. Поэтому
$L = v_{сближ} \lambda t$.
Подставляя сюда $v_{сближ}$ и $L$, получим
$vt \cos \alpha = \lambda t \left ( \frac{v( 2 \lambda - 1) \cos \alpha}{4} - \frac{v \cos \alpha}{2} \right ) \Rightarrow 1 = \lambda \left ( \frac{ \lambda}{2} - \frac{3}{4} \right )$.
Это - квадратное уравнение на $\lambda$, которое легко привести к виду $2 \lambda^{2} - 3 \lambda - 4 = 0$, у которого имеется единственный положительный корень, равный
$\lambda = \frac{3 + \sqrt{41} }{4}$.
Ответ: Вторая пушка должна стрелять с в $\lambda = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ раза большей начальной скоростью.
