Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10041
2019-01-14 
Школьник смастерил механизм, соединив два стержня (АВ и CD) и ползунок при помощи шарниров в точках B и D. Затем он прикрепил всю конструкцию к неподвижной стене шарниром А так, чтобы ползунок мог свободно двигаться по неподвижному желобу (см. рис.). Движение всех узлов происходит в плоскости рисунка; $AB = BD = a, BC = 2a$. Наблюдая движение механизма, школьник определил, что, когда стержень $AB$ горизонтален, а стержень $CD$ вертикален, ползунок едет по желобу влево вверх со скоростью $v$. Найдите скорость точки С в этот момент.
Решение:
Способ I. Этот способ решения основан на простой идее о том, что если движение твёрдого тела не является поступательным, то в любой момент времени можно представить это движение как вращение вокруг некоторой точки - мгновенного центра вращения (МЦВ). Прежде чем использовать эту идею, проиллюстрируем её.
Рассмотрим колесо, которое катится без проскальзывания по дороге. Его движение в неподвижной системе отсчёта представляет собой сумму вращательного движения точек колеса вокруг оси и поступательного движения оси вдоль дороги. На рисунке 5 показано, как векторным сложением вращательной и поступательной скоростей получить мгновенную скорость любой точки колеса при таком составном движении. Можно заметить, что в любой момент времени вращательно-поступательное движение колеса можно представить как вращение вокруг мгновенной оси - точки колеса, которая в данный момент неподвижна. Несложно понять, что такой точкой в каждый момент является точка соприкосновения колеса с дорогой. При этом мгновенная скорость любой точки перпендикулярна линии, соединяющей эту точку с МЦВ, а величина скорости тем больше, чем дальше точка удалена от МЦВ (при этом зависимость скорости от расстояния линейная, поскольку все точки вращаются вокруг МЦВ с одинаковой угловой скоростью).
Вернёмся теперь к нашей задаче и попытаемся определить МЦВ стержня CD. Найти МЦВ можно, зная направления скоростей двух точек тела и восстановив к ним перпендикуляры. В нашей задаче известно направление скорости точки D - вдоль желоба. Кроме того понятно, что точка В совершает вращение вокруг неподвижной точки А, а значит её скорость в рассматриваемый момент вертикальна.
Рассмотрим случай, когда скорость точки D направлена вверх по желобу (см. рис.). Проведем перпендикуляры к скоростям точек B и D, их пересечение и будет МЦВ (точка P). Чтобы определить направление скорости точки С, проведем отрезок из точки P в точку C. Скорость точки C будет перпендикулярна PC. Для величины этой скорости можно написать пропорцию
$\frac{V_{C} }{|PC|} = \frac{V_{D}}{|PD|} \Rightarrow V_{C} = V_{D} \frac{|PC|}{|PD|}$
Из рисунка видно, что $|PD| = a \sqrt{2}, |PC| = a \sqrt{5}$. Значит, скорость точки C по величине равна $V_{C} = u = v \sqrt{5/2}$.
В случае, когда ползунок движется в противоположном направлении, ход решения и ответ остаются прежним, но скорость точки C меняет направление на противоположное.
Способ II. Рассмотрим движение механизма в подвижной системе отсчёта, связанной с точкой D. В этой системе в рассматриваемый момент времени стержень CD поворачивается относительно точки D с некоторой угловой скоростью $\omega$. Зная расстояния $|BD| = a$ и $|CD| = 3a$, через $\omega$ можно выразить скорости точек B и С:
$V_{B} = \omega a, V_{C} = 3 \omega a$.
Вернемся в исходную неподвижную систему отсчета, в которой точка D движется вдоль желоба со скоростью $v$. Для этого необходимо к скоростям всех точек стержня, которые у них были в подвижной системе, прибавить скорость точки D, т.е. вектор $\vec{v}$. Соответствующее построение выполнено на рисунке 7.
Так как скорость точки B в неподвижной системе отсчета в рассматриваемый момент направлена вертикально, горизонтальные компоненты скоростей $\vec{v}$ и $\vec{V}_{B}$ при векторном сложении для точки В должны скомпенсироваться:
$\frac{v \sqrt{2} }{2} = \omega a \Rightarrow \omega = \frac{v}{a \sqrt{2} }$.
Складывая теперь вектор $\vec{v}$ и вектор скорости точки С относительно подвижной системы отсчета $\vec{V}_{C}$ (рис. 8), получаем искомую скорость точки С в неподвижной системе отсчета $u = v \sqrt{5/2}$. Здесь принято во внимание, что $| \vec{V}_{C} | = 3 \omega a = 3 \frac{v}{ \sqrt{2}}$.
Для угла $\alpha$, под которым направлена эта скорость, несложно получить соотношение
$tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} v/2 }{ \sqrt{2} v } = \frac{1}{2}$
Ответ: Скорость равна по модулю $v \sqrt{5/2}$ и направлена под углом $arctg(1/2)$ к направлению АВ.
Школьник смастерил механизм, соединив два стержня (АВ и CD) и ползунок при помощи шарниров в точках B и D. Затем он прикрепил всю конструкцию к неподвижной стене шарниром А так, чтобы ползунок мог свободно двигаться по неподвижному желобу (см. рис.). Движение всех узлов происходит в плоскости рисунка; $AB = BD = a, BC = 2a$. Наблюдая движение механизма, школьник определил, что, когда стержень $AB$ горизонтален, а стержень $CD$ вертикален, ползунок едет по желобу влево вверх со скоростью $v$. Найдите скорость точки С в этот момент.
Решение:
Способ I. Этот способ решения основан на простой идее о том, что если движение твёрдого тела не является поступательным, то в любой момент времени можно представить это движение как вращение вокруг некоторой точки - мгновенного центра вращения (МЦВ). Прежде чем использовать эту идею, проиллюстрируем её.
Рассмотрим колесо, которое катится без проскальзывания по дороге. Его движение в неподвижной системе отсчёта представляет собой сумму вращательного движения точек колеса вокруг оси и поступательного движения оси вдоль дороги. На рисунке 5 показано, как векторным сложением вращательной и поступательной скоростей получить мгновенную скорость любой точки колеса при таком составном движении. Можно заметить, что в любой момент времени вращательно-поступательное движение колеса можно представить как вращение вокруг мгновенной оси - точки колеса, которая в данный момент неподвижна. Несложно понять, что такой точкой в каждый момент является точка соприкосновения колеса с дорогой. При этом мгновенная скорость любой точки перпендикулярна линии, соединяющей эту точку с МЦВ, а величина скорости тем больше, чем дальше точка удалена от МЦВ (при этом зависимость скорости от расстояния линейная, поскольку все точки вращаются вокруг МЦВ с одинаковой угловой скоростью).
Вернёмся теперь к нашей задаче и попытаемся определить МЦВ стержня CD. Найти МЦВ можно, зная направления скоростей двух точек тела и восстановив к ним перпендикуляры. В нашей задаче известно направление скорости точки D - вдоль желоба. Кроме того понятно, что точка В совершает вращение вокруг неподвижной точки А, а значит её скорость в рассматриваемый момент вертикальна.
Рассмотрим случай, когда скорость точки D направлена вверх по желобу (см. рис.). Проведем перпендикуляры к скоростям точек B и D, их пересечение и будет МЦВ (точка P). Чтобы определить направление скорости точки С, проведем отрезок из точки P в точку C. Скорость точки C будет перпендикулярна PC. Для величины этой скорости можно написать пропорцию
$\frac{V_{C} }{|PC|} = \frac{V_{D}}{|PD|} \Rightarrow V_{C} = V_{D} \frac{|PC|}{|PD|}$
Из рисунка видно, что $|PD| = a \sqrt{2}, |PC| = a \sqrt{5}$. Значит, скорость точки C по величине равна $V_{C} = u = v \sqrt{5/2}$.
В случае, когда ползунок движется в противоположном направлении, ход решения и ответ остаются прежним, но скорость точки C меняет направление на противоположное.
Способ II. Рассмотрим движение механизма в подвижной системе отсчёта, связанной с точкой D. В этой системе в рассматриваемый момент времени стержень CD поворачивается относительно точки D с некоторой угловой скоростью $\omega$. Зная расстояния $|BD| = a$ и $|CD| = 3a$, через $\omega$ можно выразить скорости точек B и С:
$V_{B} = \omega a, V_{C} = 3 \omega a$.
Вернемся в исходную неподвижную систему отсчета, в которой точка D движется вдоль желоба со скоростью $v$. Для этого необходимо к скоростям всех точек стержня, которые у них были в подвижной системе, прибавить скорость точки D, т.е. вектор $\vec{v}$. Соответствующее построение выполнено на рисунке 7.
Так как скорость точки B в неподвижной системе отсчета в рассматриваемый момент направлена вертикально, горизонтальные компоненты скоростей $\vec{v}$ и $\vec{V}_{B}$ при векторном сложении для точки В должны скомпенсироваться:
$\frac{v \sqrt{2} }{2} = \omega a \Rightarrow \omega = \frac{v}{a \sqrt{2} }$.
Складывая теперь вектор $\vec{v}$ и вектор скорости точки С относительно подвижной системы отсчета $\vec{V}_{C}$ (рис. 8), получаем искомую скорость точки С в неподвижной системе отсчета $u = v \sqrt{5/2}$. Здесь принято во внимание, что $| \vec{V}_{C} | = 3 \omega a = 3 \frac{v}{ \sqrt{2}}$.
Для угла $\alpha$, под которым направлена эта скорость, несложно получить соотношение
$tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} v/2 }{ \sqrt{2} v } = \frac{1}{2}$
Ответ: Скорость равна по модулю $v \sqrt{5/2}$ и направлена под углом $arctg(1/2)$ к направлению АВ.
