2016-09-17
На горизонтальной поверхности покоится однородный тонкий обруч массой $M$ и радиусом $R$ (см. рисунок). Горизонтальный диаметр обруча представляет собой лёгкую гладкую трубку, в которую помещён шарик массой $m$, прикреплённый к обручу двумя пружинами жёсткостью $k$ каждая. Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонили влево на расстояние $x$, после чего предоставили систему самой себе. Найдите ускорение центра обруча в начальный момент времени. Проскальзывание обруча отсутствует.
Решение:
Направим координатную ось $X$ влево, а координатную ось $Y$ вверх (рис.). Через малое время $\Delta t$ после того, как систему предоставили самой себе, расстояние $x$ практически не успевает измениться, проекции скоростей центра обруча и шарика на ось $X$ равны $V$ и $v$, а проекции их ускорений на эту же ось равны $A = \Delta V/ \Delta t$ и $a = \Delta v/ \Delta t$. Энергия рассматриваемой системы через указанный промежуток времени складывается из кинетических энергий поступательного $W_{пост} = \frac{MV^{2}}{2} + \frac{mv^{2}}{2}$ и вращательного $U_{вр} = \frac{MV^{2}}{2} + \frac{m (V/R)^{2} x^{2}}{2}$ движений обруча и шарика, потенциальной энергии пружин $U_{пр} = 2 \cdot \frac{kx^{2}}{2}$ и шарика в поле силы тяжести $U_{тяж} = mgy$, где $y$ — высота шарика над поверхностью. Изменения кинетической и потенциальной энергий системы за время $\Delta t$ равны, соответственно,
$\frac{ \Delta W}{ \Delta t} = \frac{ \Delta W_{пост}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta W_{вр}}{ \Delta t} = MV \frac{ \Delta V}{ \Delta t} + mv \frac{ \Delta v}{ \Delta t} + MV \frac{ \Delta V}{ \Delta t} + m \left ( \frac{x}{R} \right )^{2} V \frac{ \Delta V}{ \Delta t} = AV \left ( 2M + m \left ( \frac{x}{R} \right )^{2} \right ) + mav$;
$\frac{ \Delta U}{ \Delta t} = \frac{ \Delta U_{пр}}{ \Delta t} + \frac{ \Delta U_{тяж}}{ \Delta t} = 2kx \frac{ \Delta x}{ \Delta t} + mg \frac{ \Delta y}{ \Delta t} = 2kx (v - V) - mgx \frac{V}{R}$,
где $\Delta x / \Delta t = v — V$ и учтено, что $\Delta y/ \Delta t < 0$. В соответствии со вторым законом Ньютона, $ma = —2kx$ (сразу после того, как систему предоставили самой себе, ускорение шарика направлено вправо — см. рисунок). С учётом этого из закона сохранения механической энергии $\Delta W + \Delta U = 0$ получаем, что
$\frac{ \Delta W}{ \Delta t} + \frac{ \Delta U}{ \Delta t} = AV \left ( 2M + m \left ( \frac{x}{R} \right )^{2} \right ) - 2kxV - mgx \frac{V}{R} = 0$.
Отсюда искомое ускорение центра обруча в начальный момент времени
$A = xR \frac{mg + 2kR}{2MR^{2} + mx^{2}}$.