Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10039
2019-01-14 
С вершины А горки, имеющей внизу маленькое закругление B, отпустили без начальной скорости санки (см. рис.). Прямолинейный участок горки длиной $AB = L = 50 м$ имеет переменный коэффициент трения $\mu (x) = 0,5 (1 - x/L)$, где $x$ - расстояние от точки А. Определите, на какую максимальную высоту "взлетят" санки относительно точки B. Угол наклона горки $\alpha = 30^{ \circ}$. Считать, что санки вылетают с закругления под углом $60^{ \circ}$ к горизонту. Сопротивлением воздуха и трением санок об участок с закруглением пренебречь. Размеры санок малы.
Решение:
Чтобы определить максимальную высоту подъема санок, необходимо найти их скорость в точке B. Проще всего найти её, используя закон сохранения энергии.
Будем отсчитывать высоту и потенциальную энергию от уровня точки B. В начальный момент санки обладают потенциальной энергией $mgL \sin \alpha$ (где $m$ - масса санок, $L \sin \alpha$ - высота точки A над нулевым уровнем потенциальной энергии). На участке AB на санки действует непотенциальная сила - сила трения, значит, часть механической энергии преобразуется в теплоту $Q$ за счёт работы этой силы. В точке B вся механическая энергия системы сосредоточена в кинетической энергии санок, поэтому по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = mgL \sin \alpha - Q$. (2)
Вычислив работу силы трения $A_{трения}$ при движении санок по горке, мы одновременно найдём и выделившееся тепло, $Q = |A_{трения}|$. Сила трения при движении санок не постоянна; она линейно уменьшается с расстоянием - от своего максимального значения $F_{max} = 0,5mg \cos \alpha$ до нуля. Поэтому при вычислении работы следует разбить все перемещение санок на маленькие отрезки длиной $\Delta x$, так чтобы на каждом из них сила практически не менялась. Затем найдём работу на каждом отрезке и просуммируем результат для всех отрезков. Теплота, выделившаяся на самом начальном отрезке, где сила трения максимальна, будет, очевидно, равна $\Delta Q_{max} = F_{max} \Delta x$; на последующих отрезках теплота будет линейно убывать с расстоянием - вплоть до нуля внизу горки. На отрезке ровно посередине горки выделится теплота $\Delta Q_{cp} = (F_{max}/2) \Delta x$. Все остальные слагаемые $\Delta Q$ на каждом отрезке могут быть больше или меньше $\Delta Q_{сp}$, однако для любого отрезка выше середины горки, где сила трения больше $F_{max}/2$ на некоторую величину, существует симметрично расположенный отрезок ниже середины, где сила трения меньше Fmax/2 на эту же самую величину. Поэтому для расчета работы силы трения можно использовать среднее значение силы $F_{max}/2$. Таким образом, работа силы трения на участке AB будет равна по модулю
$|A_{трения}| = \frac{LF_{max} }{2} = \frac{Lmg \cos \alpha}{4}$,
так что из (2) легко получить
$\frac{mv^{2}}{2} = mgL \sin \alpha - \frac{Lmg \cos \alpha}{4} = \frac{mgL(4 \sin \alpha - \cos \alpha)}{4}$. (3)
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то в полете механическая энергия санок сохраняется и равна $mv^{2}/2$. Это позволяет легко найти максимальную высоту подъёма санок. Действительно, в высшей точке подъема скорость санок горизонтальна и равна $v \cos 60^{ \circ}$. Поэтому их кинетическая энергия равна $(mv^{2} \cos^{2} 60^{ \circ})/2$. Если $h_{max}$ - высота санок в момент максимального подъёма, то потенциальная энергия в этот момент равна $mgh_{max}$, и закон сохранения энергии принимает вид
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv^{2} \cos^{2} 60^{ \circ} }{2} + mgh_{max} \Rightarrow mgh_{max} = \frac{mv^{2} (1 - \cos^{2} 60^{ \circ} ) }{2} = \frac{mv^{2} \sin^{2} 60^{ \circ} }{2}$.
Подставляя сюда значение $mv^{2}/2$ из (3), и выражая $h_{max}$, найдём окончательный ответ
$mgh_{max} = \frac{mgL(4 \sin \alpha - \cos \alpha ) \sin^{2} 60^{ \circ}}{4} \Rightarrow h_{max} = \frac{L(4 \sin \alpha - \cos \alpha) \sin^{2} 60^{ \circ} }{4}$.
Подставляя численные значения, получим $h_{max} = 10,6 м$.
Ответ: Максимальная высота подъёма санок равна 10,6 м.
С вершины А горки, имеющей внизу маленькое закругление B, отпустили без начальной скорости санки (см. рис.). Прямолинейный участок горки длиной $AB = L = 50 м$ имеет переменный коэффициент трения $\mu (x) = 0,5 (1 - x/L)$, где $x$ - расстояние от точки А. Определите, на какую максимальную высоту "взлетят" санки относительно точки B. Угол наклона горки $\alpha = 30^{ \circ}$. Считать, что санки вылетают с закругления под углом $60^{ \circ}$ к горизонту. Сопротивлением воздуха и трением санок об участок с закруглением пренебречь. Размеры санок малы.
Решение:
Чтобы определить максимальную высоту подъема санок, необходимо найти их скорость в точке B. Проще всего найти её, используя закон сохранения энергии.
Будем отсчитывать высоту и потенциальную энергию от уровня точки B. В начальный момент санки обладают потенциальной энергией $mgL \sin \alpha$ (где $m$ - масса санок, $L \sin \alpha$ - высота точки A над нулевым уровнем потенциальной энергии). На участке AB на санки действует непотенциальная сила - сила трения, значит, часть механической энергии преобразуется в теплоту $Q$ за счёт работы этой силы. В точке B вся механическая энергия системы сосредоточена в кинетической энергии санок, поэтому по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = mgL \sin \alpha - Q$. (2)
Вычислив работу силы трения $A_{трения}$ при движении санок по горке, мы одновременно найдём и выделившееся тепло, $Q = |A_{трения}|$. Сила трения при движении санок не постоянна; она линейно уменьшается с расстоянием - от своего максимального значения $F_{max} = 0,5mg \cos \alpha$ до нуля. Поэтому при вычислении работы следует разбить все перемещение санок на маленькие отрезки длиной $\Delta x$, так чтобы на каждом из них сила практически не менялась. Затем найдём работу на каждом отрезке и просуммируем результат для всех отрезков. Теплота, выделившаяся на самом начальном отрезке, где сила трения максимальна, будет, очевидно, равна $\Delta Q_{max} = F_{max} \Delta x$; на последующих отрезках теплота будет линейно убывать с расстоянием - вплоть до нуля внизу горки. На отрезке ровно посередине горки выделится теплота $\Delta Q_{cp} = (F_{max}/2) \Delta x$. Все остальные слагаемые $\Delta Q$ на каждом отрезке могут быть больше или меньше $\Delta Q_{сp}$, однако для любого отрезка выше середины горки, где сила трения больше $F_{max}/2$ на некоторую величину, существует симметрично расположенный отрезок ниже середины, где сила трения меньше Fmax/2 на эту же самую величину. Поэтому для расчета работы силы трения можно использовать среднее значение силы $F_{max}/2$. Таким образом, работа силы трения на участке AB будет равна по модулю
$|A_{трения}| = \frac{LF_{max} }{2} = \frac{Lmg \cos \alpha}{4}$,
так что из (2) легко получить
$\frac{mv^{2}}{2} = mgL \sin \alpha - \frac{Lmg \cos \alpha}{4} = \frac{mgL(4 \sin \alpha - \cos \alpha)}{4}$. (3)
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то в полете механическая энергия санок сохраняется и равна $mv^{2}/2$. Это позволяет легко найти максимальную высоту подъёма санок. Действительно, в высшей точке подъема скорость санок горизонтальна и равна $v \cos 60^{ \circ}$. Поэтому их кинетическая энергия равна $(mv^{2} \cos^{2} 60^{ \circ})/2$. Если $h_{max}$ - высота санок в момент максимального подъёма, то потенциальная энергия в этот момент равна $mgh_{max}$, и закон сохранения энергии принимает вид
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv^{2} \cos^{2} 60^{ \circ} }{2} + mgh_{max} \Rightarrow mgh_{max} = \frac{mv^{2} (1 - \cos^{2} 60^{ \circ} ) }{2} = \frac{mv^{2} \sin^{2} 60^{ \circ} }{2}$.
Подставляя сюда значение $mv^{2}/2$ из (3), и выражая $h_{max}$, найдём окончательный ответ
$mgh_{max} = \frac{mgL(4 \sin \alpha - \cos \alpha ) \sin^{2} 60^{ \circ}}{4} \Rightarrow h_{max} = \frac{L(4 \sin \alpha - \cos \alpha) \sin^{2} 60^{ \circ} }{4}$.
Подставляя численные значения, получим $h_{max} = 10,6 м$.
Ответ: Максимальная высота подъёма санок равна 10,6 м.
