Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10037
2019-01-14 
Экспериментатор Раздолбайкин собрал из подручных материалов робота. Робот потребляет фиксированную мощность $P_{0} = 20 Вт$ и тратит её на то, чтобы закручивать шурупы в следующем проекте Раздолбайкина. Робот не идеален, и часть мощности расходуется впустую, нагревая самого робота. График КПД робота $\eta$ от его температуры приведён на рисунке. Какое количество шурупов закрутит робот за десять минут работы в установившемся температурном режиме? Для того, чтобы закрутить шуруп, необходимо совершить работу в $A = 40 Дж$.
Мощность теплоотдачи в окружающую среду пропорциональна разнице температур робота и среды и даётся выражением $\alpha (T - T_{окр}), \alpha = 0,6 Вт/^{ \circ} С, T_{окр} = 20^{ \circ} C$.
Решение:
Определим сначала температуру робота в установившемся режиме. Для этого рассмотрим все относящиеся к нему тепловые процессы. Во-первых, робот получает тепло за счёт того, что расходует впустую часть потребляемой мощности. По определению, КПД - это та часть мощности, которая расходуется на полезную работу. Таким образом, на нагрев робота идёт оставшаяся её часть, то есть мощность $P_{0} (1 - \nu(T))$. В выражении мы отдельно отметили, что КПД робота зависит от температуры. С другой стороны, робот теряет тепло за счёт отдачи в окружающую среду. Мощность этой теплоотдачи приведена в условии задачи и равняется $\alpha(T - T_{окр})$. В установившемся температурном режиме робот не нагревается и не охлаждается, то есть эти мощности равны друг другу:
$P_{0} (1 - \nu (T)) = \alpha(T - T_{окр})$
Для того, чтобы найти температуру робота в установившемся режиме, нужно воспользоваться графиком и определить явный вид $\nu(T)$. Легко заметить, что эта функция линейна, и мы можем узнать точное её выражение по двум точкам.
$\nu = 0,2 - (T - 20^{ \circ} C) \frac{0,2}{40^{ \circ} С } = 0,2 - \frac{T - 20^{ \circ} С }{200^{ \circ} С }$
Теперь мы можем решить уравнение, описывающее тепловой баланс робота, и найти температуру.
$P_{0} \left ( 1 - 0,2 + \frac{T - 20^{ \circ} C}{200^{ \circ} С } \right ) = \alpha (T - T_{окр} )$
$20 \left (0,8 + \frac{T}{200} - 0,1 \right ) = 0,6 (T - 20)$
$14 + \frac{T}{10} =0,6T - 12 \Rightarrow T = 52^{ \circ} С$
КПД робота при такой температуре будет равняться
$\nu = 0,2 - \frac{52 - 20^{ \circ} C}{200^{ \circ} C} = 0,04$.
Таким образом, полезная мощность робота равняется $P = \nu P_{0} = 0,8 Вт$. Можем проверить, что значение действительно подходит: теплоотдача робота в окружающую среду составляет $0,6 (52 - 20) = 19,2 Вт$, а мощность его нагрева равняется $(1 - 0,04) \cdot 20 = 19,2 Вт$. Таким образом, робот не нагревается и не охлаждается.
За десять минут закручивания шурупов в установившемся режиме робот совершит $A_{r} = Pt = 0,8 Вт \cdot 600с = 480 Дж$ полезной работы, чего будет достаточно для того, чтобы закрутить $N = A_{r}/A = 480/40 = 12 шурупов$.
Ответ: За десять минут работы в установившемся температурном режиме робот успеет закрутить 12 шурупов в следующем проекте Раздолбайкина.
Экспериментатор Раздолбайкин собрал из подручных материалов робота. Робот потребляет фиксированную мощность $P_{0} = 20 Вт$ и тратит её на то, чтобы закручивать шурупы в следующем проекте Раздолбайкина. Робот не идеален, и часть мощности расходуется впустую, нагревая самого робота. График КПД робота $\eta$ от его температуры приведён на рисунке. Какое количество шурупов закрутит робот за десять минут работы в установившемся температурном режиме? Для того, чтобы закрутить шуруп, необходимо совершить работу в $A = 40 Дж$.
Мощность теплоотдачи в окружающую среду пропорциональна разнице температур робота и среды и даётся выражением $\alpha (T - T_{окр}), \alpha = 0,6 Вт/^{ \circ} С, T_{окр} = 20^{ \circ} C$.
Решение:
Определим сначала температуру робота в установившемся режиме. Для этого рассмотрим все относящиеся к нему тепловые процессы. Во-первых, робот получает тепло за счёт того, что расходует впустую часть потребляемой мощности. По определению, КПД - это та часть мощности, которая расходуется на полезную работу. Таким образом, на нагрев робота идёт оставшаяся её часть, то есть мощность $P_{0} (1 - \nu(T))$. В выражении мы отдельно отметили, что КПД робота зависит от температуры. С другой стороны, робот теряет тепло за счёт отдачи в окружающую среду. Мощность этой теплоотдачи приведена в условии задачи и равняется $\alpha(T - T_{окр})$. В установившемся температурном режиме робот не нагревается и не охлаждается, то есть эти мощности равны друг другу:
$P_{0} (1 - \nu (T)) = \alpha(T - T_{окр})$
Для того, чтобы найти температуру робота в установившемся режиме, нужно воспользоваться графиком и определить явный вид $\nu(T)$. Легко заметить, что эта функция линейна, и мы можем узнать точное её выражение по двум точкам.
$\nu = 0,2 - (T - 20^{ \circ} C) \frac{0,2}{40^{ \circ} С } = 0,2 - \frac{T - 20^{ \circ} С }{200^{ \circ} С }$
Теперь мы можем решить уравнение, описывающее тепловой баланс робота, и найти температуру.
$P_{0} \left ( 1 - 0,2 + \frac{T - 20^{ \circ} C}{200^{ \circ} С } \right ) = \alpha (T - T_{окр} )$
$20 \left (0,8 + \frac{T}{200} - 0,1 \right ) = 0,6 (T - 20)$
$14 + \frac{T}{10} =0,6T - 12 \Rightarrow T = 52^{ \circ} С$
КПД робота при такой температуре будет равняться
$\nu = 0,2 - \frac{52 - 20^{ \circ} C}{200^{ \circ} C} = 0,04$.
Таким образом, полезная мощность робота равняется $P = \nu P_{0} = 0,8 Вт$. Можем проверить, что значение действительно подходит: теплоотдача робота в окружающую среду составляет $0,6 (52 - 20) = 19,2 Вт$, а мощность его нагрева равняется $(1 - 0,04) \cdot 20 = 19,2 Вт$. Таким образом, робот не нагревается и не охлаждается.
За десять минут закручивания шурупов в установившемся режиме робот совершит $A_{r} = Pt = 0,8 Вт \cdot 600с = 480 Дж$ полезной работы, чего будет достаточно для того, чтобы закрутить $N = A_{r}/A = 480/40 = 12 шурупов$.
Ответ: За десять минут работы в установившемся температурном режиме робот успеет закрутить 12 шурупов в следующем проекте Раздолбайкина.
