Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1003
2016-09-17 
Края симметричной относительно центра невесомой сетки из упругих нитей закреплены на неподвижном горизонтальном обруче (см. рисунок). В горизонтальном положении сетка не натянута. С какой высоты Н гимнаст должен упасть без начальной скорости в центр сетки, чтобы её максимальный прогиб оказался равным если под неподвижно лежащим в центре сетки гимнастом этот прогиб равен /? Размеры гимнаста, величины Ь и / много меньше радиуса обруча. Известно, что при \е\ <С 1 справедлива формула
Решение:
Пусть сетка, закреплённая на обруче радиусом $R$, состоит из $N$ радиальных нитей, а жёсткость каждой из них равна $k$. При смещении центра сетки вниз на расстояние $\Delta x \ll R$ сила упругости $F$, действующая со стороны сетки на находящегося в её центре гимнаста, в силу центральной симметрии направлена вертикально вверх (см. рис.) и равна
$F = N F_{1} \sin \alpha \approx N F_{1} \frac{ \Delta x}{R} = Nk \left ( \sqrt{R^{2} + ( \Delta x)^{2}} - R \right ) \frac{ \Delta x}{R} = Nk \left ( \left ( 1 + \left ( \frac{ \Delta x}{R} \right )^{2} \right )^{1/2} -1 \right ) \Delta x \approx \frac{Nk( \Delta x)^{3}}{2R^{2}}$
(для преобразования квадратного корня использована формула, приведённая в условии задачи). Здесь $F_{1}$ — сила упругости, действующая на гимнаста со стороны каждой из нитей. Из условия известно, что когда гимнаст лежит в центре сетки неподвижно, она прогибается на величину $l$. При этом действующая на гимнаста сила тяжести $mg$ уравновешивается силой $F$. Значит, условие равновесия гимнаста имеет вид:
$mg = \frac{Nkl^{3}}{2R^{2}}$.
Рассмотрим далее падение гимнаста с высоты $H$. В момент времени перед падением его потенциальная энергия (относительно уровня ненатянутой сетки) была равна $mgH$. В момент же максимального прогиба сетки она складывалась из энергии в поле силы тяжести $-mgL$ (она отрицательна) и энергии упругой деформации сетки, которая равна
$E_{деф.} = \frac{Nk}{2} \left ( \sqrt{ R^{2} + L^{2}} \right )^{2} = \frac{NkR^{2}}{2} \left ( \left ( 1 + \left ( \frac{L}{R} \right )^{2} \right )^{1/2} -1 \right )^{2} \approx \frac{NkL^{4}}{8R^{2}}$.
С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем: $mgH = —mgL + \frac{NkL^{4}}{8R^{2}}$. Отсюда, используя записанное ранее условие равновесия, окончательно находим искомую высоту:
$H = \left ( \frac{L^{3}}{4l^{3}} - 1 \right ) L$
Края симметричной относительно центра невесомой сетки из упругих нитей закреплены на неподвижном горизонтальном обруче (см. рисунок). В горизонтальном положении сетка не натянута. С какой высоты Н гимнаст должен упасть без начальной скорости в центр сетки, чтобы её максимальный прогиб оказался равным если под неподвижно лежащим в центре сетки гимнастом этот прогиб равен /? Размеры гимнаста, величины Ь и / много меньше радиуса обруча. Известно, что при \е\ <С 1 справедлива формула
Решение:
Пусть сетка, закреплённая на обруче радиусом $R$, состоит из $N$ радиальных нитей, а жёсткость каждой из них равна $k$. При смещении центра сетки вниз на расстояние $\Delta x \ll R$ сила упругости $F$, действующая со стороны сетки на находящегося в её центре гимнаста, в силу центральной симметрии направлена вертикально вверх (см. рис.) и равна
$F = N F_{1} \sin \alpha \approx N F_{1} \frac{ \Delta x}{R} = Nk \left ( \sqrt{R^{2} + ( \Delta x)^{2}} - R \right ) \frac{ \Delta x}{R} = Nk \left ( \left ( 1 + \left ( \frac{ \Delta x}{R} \right )^{2} \right )^{1/2} -1 \right ) \Delta x \approx \frac{Nk( \Delta x)^{3}}{2R^{2}}$
(для преобразования квадратного корня использована формула, приведённая в условии задачи). Здесь $F_{1}$ — сила упругости, действующая на гимнаста со стороны каждой из нитей. Из условия известно, что когда гимнаст лежит в центре сетки неподвижно, она прогибается на величину $l$. При этом действующая на гимнаста сила тяжести $mg$ уравновешивается силой $F$. Значит, условие равновесия гимнаста имеет вид:
$mg = \frac{Nkl^{3}}{2R^{2}}$.
Рассмотрим далее падение гимнаста с высоты $H$. В момент времени перед падением его потенциальная энергия (относительно уровня ненатянутой сетки) была равна $mgH$. В момент же максимального прогиба сетки она складывалась из энергии в поле силы тяжести $-mgL$ (она отрицательна) и энергии упругой деформации сетки, которая равна
$E_{деф.} = \frac{Nk}{2} \left ( \sqrt{ R^{2} + L^{2}} \right )^{2} = \frac{NkR^{2}}{2} \left ( \left ( 1 + \left ( \frac{L}{R} \right )^{2} \right )^{1/2} -1 \right )^{2} \approx \frac{NkL^{4}}{8R^{2}}$.
С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем: $mgH = —mgL + \frac{NkL^{4}}{8R^{2}}$. Отсюда, используя записанное ранее условие равновесия, окончательно находим искомую высоту:
$H = \left ( \frac{L^{3}}{4l^{3}} - 1 \right ) L$
