2016-09-17
Альпинистская капроновая верёвка подчиняется закону Гука, пока не разрывается при силе натяжения $T = 22000 Н$, будучи растянутой на $\alpha = 25%$ от своей первоначальной длины. Стандартный способ испытания верёвки такой: один конец верёвки длиной $L$ закрепляют на стене, и с высоты, равной $L$, сбрасывают груз массой $m$, привязанный к другому концу (см. рисунок). При каком максимальном грузе $m$ верёвка обязана выдержать рывок?
Решение:
Обозначим коэффициент жёсткости верёвки длиной $L$ через $k$. Тогда $k = T/( \alpha L)$, поскольку $T$ — это сила, которая растягивает верёвку на длину $\Delta L = \alpha L$.
Рассмотрим схему испытания верёвки на прочность при максимально возможной массе груза $m$. Упав с высоты $2L$, этот груз растянул верёвку до максимального удлинения $\Delta L = \alpha L$ и остановился. При этом потенциальная энергия груза в поле силы тяжести уменьшилась на величину $\Delta U_{1} = mgL(2 + \alpha)$, а потенциальная энергия, запасённая в упругой верёвке, увеличилась на $\Delta U_{2} = k( \alpha L)^{2}/2 = T \alpha L/2$. Поскольку и в верхней, и в нижней точке кинетическая энергия груза равна нулю, то $\Delta U_{1} = \Delta U_{2}$, то есть $mgL(2 + \alpha) = T \alpha L/2$. Отсюда масса груза $m = \frac{T \alpha}{2g(2 + \alpha)} \approx 125 кг$.