Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10019
2019-01-10 
Некоторое количество идеального одноатомного газа участвует в циклическом процессе 1-2-3-1, представленном на диаграмме $p-V$. Процесс 3-1 является изотермой, величины $V_{1}$ и $p_{3}$ известны. Также известно, что в процессе 1-2 газ поглотил количество теплоты $Q$. Найдите давление и объём газа в остальных пронумерованных точках диаграммы.
Решение:
Обозначим искомое давление на изобаре 1-2 через $p$, а искомый объём на изохоре 2-3 через $V$.
По условию теплота, полученная газом на изобаре 1-2, равна $Q$. С другой стороны она равна $C_{p}(T_{2} - T_{1}) = \frac{5 \nu R(T_{2} - T_{1})}{2}$, так как газ нагрелся на $T_{2} - T_{1}$, и в изобарическом процессе одноатомный газ имеет теплоёмкость $C_{p} = 5 \nu R/2$. Так как температуры в задаче не спрашиваются, удобно выразить $T_{1}$ и $T_{2}$ через давления и объёмы с помощью уравнений Клапейрона-Менделеева, записанных для газа в точках 1 и 2:
$pV_{1} = \nu RT_{1}, pV = \nu RT_{2}$.
Отсюда
$Q = \frac{5( \nu RT_{2} - \nu RT_{1} ) }{2} = \frac{5p(V - V_{1} ) }{2} \Rightarrow p(V - V_{1} ) = \frac{2Q}{5}$ (1)
Запишем теперь условие, что линия 3-1 является изотермой
$pV_{1} = p_{3}V$. (2)
Решим совместно систему уравнений (1, 2) относительно $p$ и $V$. Например, разделим уравнение (1) на уравнение (2), исключив тем самым $p$,
$\frac{V - V_{1}}{V_{1} } = \frac{2Q}{2p_{3}V } \Rightarrow V(V - V_{1} ) = \frac{2Q}{5p_{3}V_{1} } \Rightarrow V^{2} - V_{1}V - \frac{2Q}{5p_{3}V_{1} } = 0$.
Решая квадратное уравнение относительно $V$, находим
$V = \frac{V_{1} }{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 + \frac{8Q}{5p_{3}V_{1} } } \right )$.
Понятно, что ответ для $V$ должен быть положительным, поэтому из двух корней следует оставить лишь положительный. Осталось лишь найти $p$ из (2):
$p = \frac{p_{3}V }{V_{1} } = \frac{p_{3} }{2} \left (1 + \sqrt{1 + \frac{8Q}{5p_{3}V_{1} } } \right )$.
Ответ: Давление в точках 1 и 2 равно $p = p_{3} (1 + \sqrt{K})/2$, объём в точках 2 и 3 равен $V = \frac{V_{1} (1 + \sqrt{K} )}{2}$, где $K = 1 + \frac{8Q}{5 p_{3}V_{1}}$.
Некоторое количество идеального одноатомного газа участвует в циклическом процессе 1-2-3-1, представленном на диаграмме $p-V$. Процесс 3-1 является изотермой, величины $V_{1}$ и $p_{3}$ известны. Также известно, что в процессе 1-2 газ поглотил количество теплоты $Q$. Найдите давление и объём газа в остальных пронумерованных точках диаграммы.
Решение:
Обозначим искомое давление на изобаре 1-2 через $p$, а искомый объём на изохоре 2-3 через $V$.
По условию теплота, полученная газом на изобаре 1-2, равна $Q$. С другой стороны она равна $C_{p}(T_{2} - T_{1}) = \frac{5 \nu R(T_{2} - T_{1})}{2}$, так как газ нагрелся на $T_{2} - T_{1}$, и в изобарическом процессе одноатомный газ имеет теплоёмкость $C_{p} = 5 \nu R/2$. Так как температуры в задаче не спрашиваются, удобно выразить $T_{1}$ и $T_{2}$ через давления и объёмы с помощью уравнений Клапейрона-Менделеева, записанных для газа в точках 1 и 2:
$pV_{1} = \nu RT_{1}, pV = \nu RT_{2}$.
Отсюда
$Q = \frac{5( \nu RT_{2} - \nu RT_{1} ) }{2} = \frac{5p(V - V_{1} ) }{2} \Rightarrow p(V - V_{1} ) = \frac{2Q}{5}$ (1)
Запишем теперь условие, что линия 3-1 является изотермой
$pV_{1} = p_{3}V$. (2)
Решим совместно систему уравнений (1, 2) относительно $p$ и $V$. Например, разделим уравнение (1) на уравнение (2), исключив тем самым $p$,
$\frac{V - V_{1}}{V_{1} } = \frac{2Q}{2p_{3}V } \Rightarrow V(V - V_{1} ) = \frac{2Q}{5p_{3}V_{1} } \Rightarrow V^{2} - V_{1}V - \frac{2Q}{5p_{3}V_{1} } = 0$.
Решая квадратное уравнение относительно $V$, находим
$V = \frac{V_{1} }{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 + \frac{8Q}{5p_{3}V_{1} } } \right )$.
Понятно, что ответ для $V$ должен быть положительным, поэтому из двух корней следует оставить лишь положительный. Осталось лишь найти $p$ из (2):
$p = \frac{p_{3}V }{V_{1} } = \frac{p_{3} }{2} \left (1 + \sqrt{1 + \frac{8Q}{5p_{3}V_{1} } } \right )$.
Ответ: Давление в точках 1 и 2 равно $p = p_{3} (1 + \sqrt{K})/2$, объём в точках 2 и 3 равен $V = \frac{V_{1} (1 + \sqrt{K} )}{2}$, где $K = 1 + \frac{8Q}{5 p_{3}V_{1}}$.
