Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10017
2019-01-10 
К источнику постоянного напряжения подключена схема из шести резисторов (см. рис.). Сопротивления резисторов равны $R_{1} = R_{4} = 2 Ом, R_{2} = R_{3} = 3 Ом , R_{5} = R_{6} = 5 Ом$. Известно, что два резистора вышли из строя, какие именно не известно: одно из сопротивлений закоротило, а другое — перегорело. Определите, какие резисторы должны выйти из строя, чтобы у получившейся схемы было минимально возможное сопротивление? Какие два резистора должны сломаться, чтобы сопротивление оставшейся схемы было максимально возможное? Рассчитайте значения этих сопротивлений. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Решение:
Наиболее очевидная стратегия решения задачи — перебор всех возможных случаев. Для этого можно вывести формулу для общего сопротивления исходной цепи и подставлять соответствующие значения. При этом перегоревшему резистору будет соответствовать бесконечное сопротивление, а закороченному — нулевое. Как будет видно далее, в силу наличия симметрии, количество неэквивалентных случаев существенно меньше, чем $6 \times 5 = 30$. Однако, мы проведем разбор случаев несколько иначе. Сначала выберем, какой из резисторов сгорел.
Случай 1. Сгорел один из резисторов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ или $R_{4}$.
Для определенности при выводе формул будем считать, что сгорел резистор $R_{1}$. В этом случае схема примет вид, изображенный на Рис.
Общее сопротивление можно вычислить, пользуясь обычными правилами для последовательного и параллельного подключения проводников. В результате имеем:
$R_{0} = R_{3} + \frac{R_{4}[R_{5}R_{6} + R_{2}(R_{5} + R_{6})]}{R_{5}R_{6} + (R_{2} + R_{4} )(R_{5} + R_{6} ) }$. (15)
Теперь закороченный резистор можно выбрать 4-мя способами (очевидно, что резисторы $R_{5}$ и $R_{6}$ полностью эквивалентны). Кроме того, в качестве сгоревшего резистора можно выбрать не $R_{1}$, а $R_{3}$. При таком рассмотрении резистор $R_{1}$ эквивалентен $R_{4}$, а $R_{2}$ эквивалентен $R_{3}$. Таким образом, мы имеем 8 различных вариантов. Заметим, что наряду с заменой $R_{3} \rightarrow R_{1}$ в формуле (15) нужно делать замену $R_{2} \rightarrow R_{4}, R_{4} \rightarrow R_{2}$. Выпишем значения сопротивления финальной цепи для этих 8-ми случаев:
1. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{2}: R_{0}(1) = 4 \frac{1}{9} Ом$.
2. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{3}: R_{0}(2) = 1 \frac{7}{15} Ом$.
3. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{4}: R_{0}(3) = 3 Ом$.
4. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{5} (или \: R_{6} ): R_{0}(4) = 4 \frac{1}{5} Ом$.
5. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{1}: R_{0}(5) = 1 \frac{4}{5} Ом$.
6. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{2}: R_{0}(6) = 2 Ом$.
7. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{4}: R_{0}(7) = 3 \frac{4}{11} Ом$.
8. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{5} (или \: R_{6} ): R_{0}(8) = 3 \frac{1}{5} Ом$.
Далее перейдем к следующему случаю.
Случай 2. Сгорел один из резисторов $R_{5}$ или $R_{6}$.
Будем считать, что сгорел резистор $R_{6}$. Выберем, какой резистор закоротило:
2а) Закоротило резистор $R_{5}$.
В этом случае схема приобретает наиболее простой вид (см. Рис.).
Общее сопротивление будет равно
$R_{0} (9) = \frac{R_{1}R_{3} }{R_{1} + R_{3} } + \frac{R_{2}R_{4} }{R_{2} + R_{4} } = 2 \frac{2}{5} Ом$, (16)
2б) Закоротило один из резисторов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ или $R_{4}$.
Опять для определенности будем считать, что закоротило резистор $R_{1}$. Эквивалентная схема представлена на Рис.
Данный случай является наиболее содержательным. Для определения общего сопротивления цепи воспользуемся законами Кирхгофа. Запишем систему уравнений для нахождения токов, указанных на Рис.:
$I_{3}R_{3} = I_{5} R_{5}$,
$I_{2} R_{2} = I_{5} R_{5} + I_{4} R_{4}$,
$I_{4} = I_{3} + I_{5}$,
$I_{1} = I_{2} + I_{5}$.
Общее сопротивление тогда можно будет вычислить по формуле:
$R_{0} = \frac{U_{0}}{I_{0} } = \frac{I_{2}R_{2} }{I_{1} + I_{3} }$.
Выражая все токи через какой-то один и подставляя полученные выражения в формулу (17), можно получить
$R_{0} = \frac{R_{2}[R_{3}R_{5} + R_{4}(R_{3} + R_{5})]}{R_{3}R_{5} + (R_{2} + R_{4})(R_{3} + R_{5})}$. (17)
Таким образом, если закоротило резистор $R_{1}$ (или $R_{4}$), то конечное сопротивление цепи равно $R_{0}(10) = 1 \frac{38}{55} Ом$. Если же закоротило резистор $R_{2}$ (или $R_{3}$), то, используя замену $R_{3} \rightarrow R_{4}, R_{2} \rightarrow R_{4}, R_{4} \rightarrow R_{2}$, получаем $R_{0}(11) = 1 \frac{17}{45} Ом$. Заметим, что формулу (17) можно получить и без применения законов Кирхгофа за счет перестроения схемы, изображенной на Рис.
Теперь необходимо сравнить между собой одиннадцать полученных значений $R_{0}(1) - R_{0}(11)$. Минимальным оказывается $R_{0}(11) = 1 \frac{17}{45} Ом$, а максимальным — $R_{0}(4) = 4 \frac{1}{5} Ом$. Для удобства результаты можно представить в виде таблицы:
Ответ: Наименьшее сопротивление конечной цепи $R_{0} = 1 \frac{17}{45} Ом$ достигается в случае, если перегорел резистор $R_{5}$ (или $R_{6}$), а закоротило резистор $R_{2}$ (или $R_{3}$). Наибольшее сопротивление $R_{0} = 4 \frac{1}{5} Ом$ возникает, если сгорел резистор $R_{1}$ (или $R_{4}$), а закоротило резистор $R_{5}$ (или $R_{6}$).
К источнику постоянного напряжения подключена схема из шести резисторов (см. рис.). Сопротивления резисторов равны $R_{1} = R_{4} = 2 Ом, R_{2} = R_{3} = 3 Ом , R_{5} = R_{6} = 5 Ом$. Известно, что два резистора вышли из строя, какие именно не известно: одно из сопротивлений закоротило, а другое — перегорело. Определите, какие резисторы должны выйти из строя, чтобы у получившейся схемы было минимально возможное сопротивление? Какие два резистора должны сломаться, чтобы сопротивление оставшейся схемы было максимально возможное? Рассчитайте значения этих сопротивлений. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Решение:
Наиболее очевидная стратегия решения задачи — перебор всех возможных случаев. Для этого можно вывести формулу для общего сопротивления исходной цепи и подставлять соответствующие значения. При этом перегоревшему резистору будет соответствовать бесконечное сопротивление, а закороченному — нулевое. Как будет видно далее, в силу наличия симметрии, количество неэквивалентных случаев существенно меньше, чем $6 \times 5 = 30$. Однако, мы проведем разбор случаев несколько иначе. Сначала выберем, какой из резисторов сгорел.
Случай 1. Сгорел один из резисторов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ или $R_{4}$.
Для определенности при выводе формул будем считать, что сгорел резистор $R_{1}$. В этом случае схема примет вид, изображенный на Рис.
Общее сопротивление можно вычислить, пользуясь обычными правилами для последовательного и параллельного подключения проводников. В результате имеем:
$R_{0} = R_{3} + \frac{R_{4}[R_{5}R_{6} + R_{2}(R_{5} + R_{6})]}{R_{5}R_{6} + (R_{2} + R_{4} )(R_{5} + R_{6} ) }$. (15)
Теперь закороченный резистор можно выбрать 4-мя способами (очевидно, что резисторы $R_{5}$ и $R_{6}$ полностью эквивалентны). Кроме того, в качестве сгоревшего резистора можно выбрать не $R_{1}$, а $R_{3}$. При таком рассмотрении резистор $R_{1}$ эквивалентен $R_{4}$, а $R_{2}$ эквивалентен $R_{3}$. Таким образом, мы имеем 8 различных вариантов. Заметим, что наряду с заменой $R_{3} \rightarrow R_{1}$ в формуле (15) нужно делать замену $R_{2} \rightarrow R_{4}, R_{4} \rightarrow R_{2}$. Выпишем значения сопротивления финальной цепи для этих 8-ми случаев:
1. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{2}: R_{0}(1) = 4 \frac{1}{9} Ом$.
2. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{3}: R_{0}(2) = 1 \frac{7}{15} Ом$.
3. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{4}: R_{0}(3) = 3 Ом$.
4. Сгорел $R_{1}$, закоротило $R_{5} (или \: R_{6} ): R_{0}(4) = 4 \frac{1}{5} Ом$.
5. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{1}: R_{0}(5) = 1 \frac{4}{5} Ом$.
6. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{2}: R_{0}(6) = 2 Ом$.
7. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{4}: R_{0}(7) = 3 \frac{4}{11} Ом$.
8. Сгорел $R_{3}$, закоротило $R_{5} (или \: R_{6} ): R_{0}(8) = 3 \frac{1}{5} Ом$.
Далее перейдем к следующему случаю.
Случай 2. Сгорел один из резисторов $R_{5}$ или $R_{6}$.
Будем считать, что сгорел резистор $R_{6}$. Выберем, какой резистор закоротило:
2а) Закоротило резистор $R_{5}$.
В этом случае схема приобретает наиболее простой вид (см. Рис.).
Общее сопротивление будет равно
$R_{0} (9) = \frac{R_{1}R_{3} }{R_{1} + R_{3} } + \frac{R_{2}R_{4} }{R_{2} + R_{4} } = 2 \frac{2}{5} Ом$, (16)
2б) Закоротило один из резисторов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ или $R_{4}$.
Опять для определенности будем считать, что закоротило резистор $R_{1}$. Эквивалентная схема представлена на Рис.
Данный случай является наиболее содержательным. Для определения общего сопротивления цепи воспользуемся законами Кирхгофа. Запишем систему уравнений для нахождения токов, указанных на Рис.:
$I_{3}R_{3} = I_{5} R_{5}$,
$I_{2} R_{2} = I_{5} R_{5} + I_{4} R_{4}$,
$I_{4} = I_{3} + I_{5}$,
$I_{1} = I_{2} + I_{5}$.
Общее сопротивление тогда можно будет вычислить по формуле:
$R_{0} = \frac{U_{0}}{I_{0} } = \frac{I_{2}R_{2} }{I_{1} + I_{3} }$.
Выражая все токи через какой-то один и подставляя полученные выражения в формулу (17), можно получить
$R_{0} = \frac{R_{2}[R_{3}R_{5} + R_{4}(R_{3} + R_{5})]}{R_{3}R_{5} + (R_{2} + R_{4})(R_{3} + R_{5})}$. (17)
Таким образом, если закоротило резистор $R_{1}$ (или $R_{4}$), то конечное сопротивление цепи равно $R_{0}(10) = 1 \frac{38}{55} Ом$. Если же закоротило резистор $R_{2}$ (или $R_{3}$), то, используя замену $R_{3} \rightarrow R_{4}, R_{2} \rightarrow R_{4}, R_{4} \rightarrow R_{2}$, получаем $R_{0}(11) = 1 \frac{17}{45} Ом$. Заметим, что формулу (17) можно получить и без применения законов Кирхгофа за счет перестроения схемы, изображенной на Рис.
Теперь необходимо сравнить между собой одиннадцать полученных значений $R_{0}(1) - R_{0}(11)$. Минимальным оказывается $R_{0}(11) = 1 \frac{17}{45} Ом$, а максимальным — $R_{0}(4) = 4 \frac{1}{5} Ом$. Для удобства результаты можно представить в виде таблицы:
Ответ: Наименьшее сопротивление конечной цепи $R_{0} = 1 \frac{17}{45} Ом$ достигается в случае, если перегорел резистор $R_{5}$ (или $R_{6}$), а закоротило резистор $R_{2}$ (или $R_{3}$). Наибольшее сопротивление $R_{0} = 4 \frac{1}{5} Ом$ возникает, если сгорел резистор $R_{1}$ (или $R_{4}$), а закоротило резистор $R_{5}$ (или $R_{6}$).
