Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10012
2019-01-10 
Два робота двигаются по круговым траекториям вокруг общего центра с постоянными по модулю скоростями. Радиус траектории первого равен $R$, второго — $\sqrt{2} R$. (см. рис.). В начальный момент времени первый робот измерил расстояние до второго. Оно оказалось равным $R$. Сделав половину оборота, первый робот снова измерил расстояние до второго. Оно стало равно $\sqrt{3} R$. Какое время нужно второму роботу, чтобы сделать один полный оборот вокруг центра? Известно, что первый робот делает оборот за 210 секунд, а второй робот не может сделать один оборот быстрее, чем за 100 секунд.
Решение:
Пусть O — общий центр круговых траекторий двух роботов, первый робот имеет имя $N_{1}$, второй — $N_{2}, A$ — положение первого робота в момент времени $t = 0, B$ — в момент $t^{ \prime} = T/2 = 105 с$. Где $T$ — время одного полного оборота первого робота (см. рис).
$OA = OB = R_{1} = R$
Определим положение второго робота в эти же моменты времени. При $t = 0, x_{1} = R$. Этому условию удовлетворяют две точки $C_{1}$ и $C_{2}$.
$AC_{1} = AC_{2} = x_{1} = R$
$OA = R_{1} = R, OC_{1} = OC_{2} = R_{2} = \sqrt{2}R$
Видно, что $AC_{1}^{2} + OA^{2} = OC_{1}^{2}$ ( то же для точки $C_{2}$). Треугольники $\Delta OAC_{1}$ и $\Delta OAC_{2}$ — прямоугольные, равнобедренные, $\angle AOC_{1} = \angle AOC_{2} = 45^{ \circ}$.
При $t^{ \circ} = 105 c$ второй робот находится на расстоянии $x_{2} = \sqrt{3}R$ от первого. Этому условию удовлетворяют две точки $D_{1}$ и $D_{2}$.
$BD_{1} = BD_{2} = x_{2} = \sqrt{3}R$
$OB = R_{1} = R, OD_{1} = OD_{2} = R_{2} = \sqrt{3}R$
Видно, что $OD^{2} + OB^{2} = BD_{1}^{2}$ (то же для точки $D_{2}$). Треугольники $\Delta BOD_{1}$ и $\Delta BOD_{2}$ — прямоугольные, $\angle AOD_{1} = \angle AOD_{2} = 90^{ \circ}$.
Проанализируем все возможные варианты перемещения робота $N_{2}$ за время $t^{ \prime}$. В условии задачи не сказано, в каком направлении движутся роботы. Пусть второй робот движется по часовой стрелке. Тогда его положение будем задавать углом $\phi$, который отсчитывается от $OA$ (см. рис). При этом будем помнить, что $\Delta \phi < 360^{ \circ}$ по условию задачи.
Изменение положения $C_{1} \rightarrow D_{1}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 45^{ \circ}$ и перемещение $\frac{1}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{1} \rightarrow D_{2}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 225^{ \circ}$ и перемещение $\frac{5}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{2} \rightarrow D_{1}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 135^{ \circ}$ и перемещение $\frac{3}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{2} \rightarrow D_{2}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 315^{ \circ}$ и перемещение $\frac{7}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Нетрудно проверить, что для движения против часовой стрелки мы получим тот же набор значений перемещения второго робота — 1/8, 3/8, 5/8 и 7/8 от $2 \pi R_{2}$. Таким образом, второму роботу для одного оборота по траектории потребуется: $8t^{ \prime}, 8/3t^{ \prime}, 8/5 t^{ \prime}$ или $8/7t^{ \prime}$. Это 840 с, 280 с, 168 с и 120 с соответственно.
Два робота двигаются по круговым траекториям вокруг общего центра с постоянными по модулю скоростями. Радиус траектории первого равен $R$, второго — $\sqrt{2} R$. (см. рис.). В начальный момент времени первый робот измерил расстояние до второго. Оно оказалось равным $R$. Сделав половину оборота, первый робот снова измерил расстояние до второго. Оно стало равно $\sqrt{3} R$. Какое время нужно второму роботу, чтобы сделать один полный оборот вокруг центра? Известно, что первый робот делает оборот за 210 секунд, а второй робот не может сделать один оборот быстрее, чем за 100 секунд.
Решение:
Пусть O — общий центр круговых траекторий двух роботов, первый робот имеет имя $N_{1}$, второй — $N_{2}, A$ — положение первого робота в момент времени $t = 0, B$ — в момент $t^{ \prime} = T/2 = 105 с$. Где $T$ — время одного полного оборота первого робота (см. рис).
$OA = OB = R_{1} = R$
Определим положение второго робота в эти же моменты времени. При $t = 0, x_{1} = R$. Этому условию удовлетворяют две точки $C_{1}$ и $C_{2}$.
$AC_{1} = AC_{2} = x_{1} = R$
$OA = R_{1} = R, OC_{1} = OC_{2} = R_{2} = \sqrt{2}R$
Видно, что $AC_{1}^{2} + OA^{2} = OC_{1}^{2}$ ( то же для точки $C_{2}$). Треугольники $\Delta OAC_{1}$ и $\Delta OAC_{2}$ — прямоугольные, равнобедренные, $\angle AOC_{1} = \angle AOC_{2} = 45^{ \circ}$.
При $t^{ \circ} = 105 c$ второй робот находится на расстоянии $x_{2} = \sqrt{3}R$ от первого. Этому условию удовлетворяют две точки $D_{1}$ и $D_{2}$.
$BD_{1} = BD_{2} = x_{2} = \sqrt{3}R$
$OB = R_{1} = R, OD_{1} = OD_{2} = R_{2} = \sqrt{3}R$
Видно, что $OD^{2} + OB^{2} = BD_{1}^{2}$ (то же для точки $D_{2}$). Треугольники $\Delta BOD_{1}$ и $\Delta BOD_{2}$ — прямоугольные, $\angle AOD_{1} = \angle AOD_{2} = 90^{ \circ}$.
Проанализируем все возможные варианты перемещения робота $N_{2}$ за время $t^{ \prime}$. В условии задачи не сказано, в каком направлении движутся роботы. Пусть второй робот движется по часовой стрелке. Тогда его положение будем задавать углом $\phi$, который отсчитывается от $OA$ (см. рис). При этом будем помнить, что $\Delta \phi < 360^{ \circ}$ по условию задачи.
Изменение положения $C_{1} \rightarrow D_{1}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 45^{ \circ}$ и перемещение $\frac{1}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{1} \rightarrow D_{2}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 225^{ \circ}$ и перемещение $\frac{5}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{2} \rightarrow D_{1}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 135^{ \circ}$ и перемещение $\frac{3}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Изменение положения $C_{2} \rightarrow D_{2}$ дает изменение угла $\Delta \phi = 315^{ \circ}$ и перемещение $\frac{7}{8}$ в долях от $2 \pi R_{2}$.
Нетрудно проверить, что для движения против часовой стрелки мы получим тот же набор значений перемещения второго робота — 1/8, 3/8, 5/8 и 7/8 от $2 \pi R_{2}$. Таким образом, второму роботу для одного оборота по траектории потребуется: $8t^{ \prime}, 8/3t^{ \prime}, 8/5 t^{ \prime}$ или $8/7t^{ \prime}$. Это 840 с, 280 с, 168 с и 120 с соответственно.
