2016-09-17
На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом $R$ (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость. Сопротивление воздуха не учитывайте.
Решение:
Минимальная скорость маленького тела в момент его падения на плоскость достигается при броске этого тела с минимальной начальной механической энергией. Нужно правильно выбрать высоту точки броска и скорость тела — ясно, что оптимальная траектория должна почти касаться полусферы в некоторой (пока неизвестной) точке (см. рис.). Обозначим начальную скорость тела через $v$, скорость в точке касания — через $u$, высоту точки броска над плоскостью — через $H$. Пусть траектория почти касается полусферы на высоте $h = R \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между горизонтом и радиусом полусферы, проведённым в точку касания. Ясно, что вектор $\vec{u}$ направлен по касательной к полусфере, то есть перпендикулярно указанному радиусу, и составляет такой же угол $\alpha$ с вертикалью. Горизонтальная компонента скорости тела во время полёта постоянна, отсюда $u = v/ \sin \alpha$. Время полёта до точки касания $t = R \cos \alpha /v$, за это время вертикальная компонента скорости возрастает на $gt$, тогда $u \cos \alpha = gt = gR \cos \alpha /v$. Из написанных соотношений получаем: $v^{2} = gR \sin \alpha$.
При движении тела от точки броска до точки касания среднее значение вертикальной проекции его скорости равно $(u \cos \alpha)/2$. Тогда
$H - h = \frac{u \cos \alpha}{2} t = \frac{1}{2} \cdot \frac{v}{ \sin \alpha} \cdot \cos \alpha \cdot \frac{R \cos \alpha}{v} = \frac{R \cos^{2} \alpha}{2 \sin \alpha}$.
Отсюда
$H = R \sin \alpha + \frac{R \cos^{2} \alpha}{2 \sin \alpha}$.
Запишем теперь выражение для полной механической энергии тела массой $m$ в точке броска:
$E = mgH + \frac{mv^{2}}{2} = mgR \left ( \sin \alpha + \frac{ \cos^{2} \alpha}{2 \sin \alpha} \right ) + \frac{mgR \sin \alpha}{2} = \frac{mgR}{2} \cdot \frac{ 3 \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha}{ \sin \alpha} = \frac{mgR}{2} \left ( 2 \sin \alpha + \frac{1}{ \sin \alpha} \right ) = \frac{mgR}{ \sqrt{2}} \left ( \sqrt{2} \sin \alpha + \frac{1}{ \sqrt{2} \sin \alpha} \right )$.
В последних скобках стоит сумма обратных друг другу величин, которая, как известно, не может быть меньше 2. Минимальное значение этой суммы достигается тогда, когда её слагаемые одинаковы и равны 1. Таким образом, $\sin \alpha_{min} = 1/ \sqrt{2}$? и минимальная энергия соответствует углу касания $45^{ \circ}$ и равна $E_{min} = \sqrt{2} mgR$. В момент падения тела на плоскость его потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, согласно закону сохранения механической энергии, минимальная скорость тела $V$ при падении определяется из соотношения:
$mV^{2}/2 = E_{min} = \sqrt{2} mgR$, откуда $V = \sqrt{2 \sqrt{2} gR}$.
Отметим, что высота, с которой должен производиться бросок, равна $H = \frac{3R}{ 2 \sqrt{2}} \approx 1,06R$, то есть чуть больше радиуса полусферы.