Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10003
2019-01-10 
Два робота участвуют в гонках на прямой трассе длиной 4,5 метра. Они одновременно начинают движение от линии старта со скоростью 10 см/с. Первый робот способен 5 раз мгновенно увеличить свою скорость на 1 см/с, второй — один раз на 5 см/с. По правилам гонки перед переключением скорости каждый робот должен проехать не менее 5 секунд с неизменной скоростью. Найдите минимальное время гонки, при котором роботы могут финишировать одновременно. Укажите моменты времени, в которые они при этом переключали скорости.
Решение:
Рассмотрим сначала краткое решение
Так как нас интересует минимальное время гонки, роботы должны стараться ехать быстрее. Отметим, что второй робот ездит быстрее первого: действительно, с 5-ой секунды гонки он может ехать со скоростью 15 см/с, тогда как первый только 11 см/с. В дальнейшем, скорость второго робота также не будет уступать скорости первого. Следовательно, минимальное время гонки будет определяться более медленным роботом, то есть первым, который должен двигаться как можно быстрее. Второй робот, по условию задачи, переключит скорость так, чтобы приехать в одно время с первым. Чтобы добраться до финиша как можно быстрее первый робот увеличивает скорость на 1 см/с, как только это становится возможным, т.е. в моменты времени $t = 5, 10, 15, 20, 25 сек$ (см. рис.). За это время (за 25 с) он проходит путь:
$S = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 11 + 5 \cdot 12 + 5 \cdot 13 + 5 \cdot 14 = 300 см$.
Оставшиеся 150 см робот проезжает с максимальной скоростью 15 см/с за 10 сек. Таким образом, минимальное время гонки равно 25 + 10 = 35 с.
Обозначим момент, когда второй робот переключает скорость как $\tau$. Тогда можно записать пройденный им путь (450 см) в виде:
$S_{1} = \tau \cdot 10 см/с + (35 c - \tau ) \cdot 15 см/с = 450 см$
Из этого уравнения можно найти время переключения $\tau = 15 с$. Если посмотреть на график, и вспомнить, что проходимый путь равен площади под графиком, легко заметить: на сколько второй робот отстает от первого на промежутке 5 - 15 с, настолько же он его догоняет на промежутке 15 - 25 с, и дальше они едут рядом с одинаковой скоростью.
Ответ: минимальное время гонки 35 с, первый робот переключает передачи в моменты 5, 10, 15, 20, 25 с, второй робот в момент времени 15 с после старта.
Также, возможно более детальное рассмотрение
Разобьем движение первого робота на два этапа: $S = S_{1} + S_{2}$. На первом этапе происходит увеличение скорости от первоначальной $v_{0} = 10 см/с$ до $v_{0} + 4 \Delta v = 14 см/с$, всякий раз на $\Delta v = 1 см/с$. Пусть тогда
$S_{1} = v_{0} t_{0} + (v_{0} + \Delta v)t_{1} + (v_{0} + 2 \Delta v)t_{2} + (v_{0} + 3 \Delta v)t_{3} + (v_{)} + 4 \Delta v)t_{4}$
где $t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ - времена движения с постоянными скоростями $v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ соответственно. На втором этапе происходит движение с постоянной скоростью $v_{0} + 5 \Delta v$ в течение времени $t_{5}$,
$S_{2} = (v_{0} + 5 \Delta v)t_{5}$
Средняя скорость на всем пути должна быть максимальной (а время от старта до финиша минимально), но есть ограничение на минимальное время движения с постоянной скоростью (не меньше 5 с). Максимально растянем промежуток времени $t_{5}$. Тем самым мы выберем среднюю скорость на всем пути оптимальным для нас способом.
Положим, что $t_{0} = t_{1} = t_{2} = t_{3} = t_{4} \equiv \tau = 5 с$, для этих значений:
$S_{1} = (5v_{0} + 10 \Delta v) \tau = 300 см$
$S_{2} = S - S_{1} = 150 см$ \
$t_{5} = \frac{S_{2}}{v_{0} + 5 \Delta v} = 10 с$
Тогда полное время движения первого робота $t_{0} + t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5} = 35 c$ для случая $t_{0} = t_{1} = t_{2} = t_{3} = t_{4} = 5 с$.
Разобьем движение второго робота на два этапа: $S = S_{1}^{ \prime} + S_{2}^{ \prime}$. На первом этапе он движется с постоянной скоростью $v_{0} = 10 см/с$ в течение времени $t_{1}^{ \prime}$. Пройденный путь $S_{1}^{ \prime} = v_{0} t_{1}^{ \prime}$. На втором этапе — с постоянной скоростью $v_{0} + 5 \Delta v = 15 см/с$ в течение времени $t_{2}^{ \prime}, S_{2}^{ \prime} = (v_{0} + 5 \Delta v)t_{2}^{ \prime}$. Если роботы стартуют и финишируют одновременно, то $t_{1}^{ \prime} + t_{2}^{ \prime} = 35 c$. С другой стороны,
$v_{0}t_{1}^{ \prime} + (v_{0} + 5 \Delta v)t_{2}^{ \prime} = S$
Отсюда легко найти, что
$t_{1}^{ \prime} = 15 c, t_{2}^{ \prime} = 20 c$
Минимальное время гонки от старта до финиша — 35 с, первый робот переключал скорости в моменты времени 5 с, 10 с, 15 с, 20 с, 25 с. Второй робот переключал скорость в момент времени 15 с.
Два робота участвуют в гонках на прямой трассе длиной 4,5 метра. Они одновременно начинают движение от линии старта со скоростью 10 см/с. Первый робот способен 5 раз мгновенно увеличить свою скорость на 1 см/с, второй — один раз на 5 см/с. По правилам гонки перед переключением скорости каждый робот должен проехать не менее 5 секунд с неизменной скоростью. Найдите минимальное время гонки, при котором роботы могут финишировать одновременно. Укажите моменты времени, в которые они при этом переключали скорости.
Решение:
Рассмотрим сначала краткое решение
Так как нас интересует минимальное время гонки, роботы должны стараться ехать быстрее. Отметим, что второй робот ездит быстрее первого: действительно, с 5-ой секунды гонки он может ехать со скоростью 15 см/с, тогда как первый только 11 см/с. В дальнейшем, скорость второго робота также не будет уступать скорости первого. Следовательно, минимальное время гонки будет определяться более медленным роботом, то есть первым, который должен двигаться как можно быстрее. Второй робот, по условию задачи, переключит скорость так, чтобы приехать в одно время с первым. Чтобы добраться до финиша как можно быстрее первый робот увеличивает скорость на 1 см/с, как только это становится возможным, т.е. в моменты времени $t = 5, 10, 15, 20, 25 сек$ (см. рис.). За это время (за 25 с) он проходит путь:
$S = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 11 + 5 \cdot 12 + 5 \cdot 13 + 5 \cdot 14 = 300 см$.
Оставшиеся 150 см робот проезжает с максимальной скоростью 15 см/с за 10 сек. Таким образом, минимальное время гонки равно 25 + 10 = 35 с.
Обозначим момент, когда второй робот переключает скорость как $\tau$. Тогда можно записать пройденный им путь (450 см) в виде:
$S_{1} = \tau \cdot 10 см/с + (35 c - \tau ) \cdot 15 см/с = 450 см$
Из этого уравнения можно найти время переключения $\tau = 15 с$. Если посмотреть на график, и вспомнить, что проходимый путь равен площади под графиком, легко заметить: на сколько второй робот отстает от первого на промежутке 5 - 15 с, настолько же он его догоняет на промежутке 15 - 25 с, и дальше они едут рядом с одинаковой скоростью.
Ответ: минимальное время гонки 35 с, первый робот переключает передачи в моменты 5, 10, 15, 20, 25 с, второй робот в момент времени 15 с после старта.
Также, возможно более детальное рассмотрение
Разобьем движение первого робота на два этапа: $S = S_{1} + S_{2}$. На первом этапе происходит увеличение скорости от первоначальной $v_{0} = 10 см/с$ до $v_{0} + 4 \Delta v = 14 см/с$, всякий раз на $\Delta v = 1 см/с$. Пусть тогда
$S_{1} = v_{0} t_{0} + (v_{0} + \Delta v)t_{1} + (v_{0} + 2 \Delta v)t_{2} + (v_{0} + 3 \Delta v)t_{3} + (v_{)} + 4 \Delta v)t_{4}$
где $t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}$ - времена движения с постоянными скоростями $v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ соответственно. На втором этапе происходит движение с постоянной скоростью $v_{0} + 5 \Delta v$ в течение времени $t_{5}$,
$S_{2} = (v_{0} + 5 \Delta v)t_{5}$
Средняя скорость на всем пути должна быть максимальной (а время от старта до финиша минимально), но есть ограничение на минимальное время движения с постоянной скоростью (не меньше 5 с). Максимально растянем промежуток времени $t_{5}$. Тем самым мы выберем среднюю скорость на всем пути оптимальным для нас способом.
Положим, что $t_{0} = t_{1} = t_{2} = t_{3} = t_{4} \equiv \tau = 5 с$, для этих значений:
$S_{1} = (5v_{0} + 10 \Delta v) \tau = 300 см$
$S_{2} = S - S_{1} = 150 см$ \
$t_{5} = \frac{S_{2}}{v_{0} + 5 \Delta v} = 10 с$
Тогда полное время движения первого робота $t_{0} + t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5} = 35 c$ для случая $t_{0} = t_{1} = t_{2} = t_{3} = t_{4} = 5 с$.
Разобьем движение второго робота на два этапа: $S = S_{1}^{ \prime} + S_{2}^{ \prime}$. На первом этапе он движется с постоянной скоростью $v_{0} = 10 см/с$ в течение времени $t_{1}^{ \prime}$. Пройденный путь $S_{1}^{ \prime} = v_{0} t_{1}^{ \prime}$. На втором этапе — с постоянной скоростью $v_{0} + 5 \Delta v = 15 см/с$ в течение времени $t_{2}^{ \prime}, S_{2}^{ \prime} = (v_{0} + 5 \Delta v)t_{2}^{ \prime}$. Если роботы стартуют и финишируют одновременно, то $t_{1}^{ \prime} + t_{2}^{ \prime} = 35 c$. С другой стороны,
$v_{0}t_{1}^{ \prime} + (v_{0} + 5 \Delta v)t_{2}^{ \prime} = S$
Отсюда легко найти, что
$t_{1}^{ \prime} = 15 c, t_{2}^{ \prime} = 20 c$
Минимальное время гонки от старта до финиша — 35 с, первый робот переключал скорости в моменты времени 5 с, 10 с, 15 с, 20 с, 25 с. Второй робот переключал скорость в момент времени 15 с.
