Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 103
2014-05-31 
Резиновый шнур с пренебрежимо малой массой подвешен за верхний конец. Шнур продет сквозь массивную шайбу, которая в начальный момент закреплена в верхней точке шнура. Если шайбу освободить, то она начнет скользить вдоль шнура, причем сила трения будет постоянной и равной $F$. Коэффициент упругости шнура на растяжение равен $k$, на сжатие - равен нулю, длина шнура $l$.
а) Какое количество тепла выделится при соскальзывании шайбы?
б) Если на нижнем конце шнура есть зажим, прочно захватывающий шайбу, то начнутся колебания шайбы, подвешенной на шнуре. При каком соотношении между параметрами задачи эти колебании будут гармоническими?
Решение:
а) При достижении шайбой нижнего конца шнура его длина становится равной $l+x$, где $x$ - растяжение шнура, вызванное действием силы трения $F$, т. е. $x = F/k$. При скольжении вдоль шнура шайба совершает работу
$A=F(l+x)=Fl+ \frac{F^{2}}{k}$.
Часть этой работы переходит в упругую энергию Е шнура:
$E=\frac{k+x^{2}}{2}$,
а остальная часть выделяется в виде тепла:
$Q=A-E=Fl+ \frac{F^{2}}{2k}$.
б) Если шайба, достигнув нижнего конца шнура, попадает в зажим, то начинаются колебания, при которых энергия не теряется, т.е. не переходит в тепло. Эти колебания будут гармоническими, если шайба не будет подниматься выше положения, при котором длина шнура равна $l$. Это обусловлено тем, что, по условию задачи, при подъеме шайбы выше указанного положения сила со стороны шнура на нее не действует ($k = 0$). Это приводит к нарушению гармоничности колебаний. Шайба не будет подниматься выше указанного положения, если в процессе ее соскальзывания выделится достаточно большое количество тепла. Будем отсчитывать высоту подъема шайбы $h$ относительно положения, при котором длина шнура равна $l$. Тогда из закона сохранения энергии для верхней точки, которую шайба достигает при колебаниях, получаем
$mgl = mgh + Q$ при $h>0$, (1)
$mgl = mgk + Q + \frac{kx^{2}}{2}$ при $h < 0$. (2)
Если $ h > 0$, то шнур сжат и упругая энергия в нем не запасена ($k=0$); если h < 0, то шнур растянут и его упругая энергия $kh^{2}/2$.
Но условию задачи $h \leq 0$, т. е. равенство (1) не должно иметь места. Это требование всегда будет выполнено, если
$Q=Fl+ \frac{F^{2}}{2k} \geq mgl$.
Резиновый шнур с пренебрежимо малой массой подвешен за верхний конец. Шнур продет сквозь массивную шайбу, которая в начальный момент закреплена в верхней точке шнура. Если шайбу освободить, то она начнет скользить вдоль шнура, причем сила трения будет постоянной и равной $F$. Коэффициент упругости шнура на растяжение равен $k$, на сжатие - равен нулю, длина шнура $l$.
а) Какое количество тепла выделится при соскальзывании шайбы?
б) Если на нижнем конце шнура есть зажим, прочно захватывающий шайбу, то начнутся колебания шайбы, подвешенной на шнуре. При каком соотношении между параметрами задачи эти колебании будут гармоническими?
Решение:
а) При достижении шайбой нижнего конца шнура его длина становится равной $l+x$, где $x$ - растяжение шнура, вызванное действием силы трения $F$, т. е. $x = F/k$. При скольжении вдоль шнура шайба совершает работу
$A=F(l+x)=Fl+ \frac{F^{2}}{k}$.
Часть этой работы переходит в упругую энергию Е шнура:
$E=\frac{k+x^{2}}{2}$,
а остальная часть выделяется в виде тепла:
$Q=A-E=Fl+ \frac{F^{2}}{2k}$.
б) Если шайба, достигнув нижнего конца шнура, попадает в зажим, то начинаются колебания, при которых энергия не теряется, т.е. не переходит в тепло. Эти колебания будут гармоническими, если шайба не будет подниматься выше положения, при котором длина шнура равна $l$. Это обусловлено тем, что, по условию задачи, при подъеме шайбы выше указанного положения сила со стороны шнура на нее не действует ($k = 0$). Это приводит к нарушению гармоничности колебаний. Шайба не будет подниматься выше указанного положения, если в процессе ее соскальзывания выделится достаточно большое количество тепла. Будем отсчитывать высоту подъема шайбы $h$ относительно положения, при котором длина шнура равна $l$. Тогда из закона сохранения энергии для верхней точки, которую шайба достигает при колебаниях, получаем
$mgl = mgh + Q$ при $h>0$, (1)
$mgl = mgk + Q + \frac{kx^{2}}{2}$ при $h < 0$. (2)
Если $ h > 0$, то шнур сжат и упругая энергия в нем не запасена ($k=0$); если h < 0, то шнур растянут и его упругая энергия $kh^{2}/2$.
Но условию задачи $h \leq 0$, т. е. равенство (1) не должно иметь места. Это требование всегда будет выполнено, если
$Q=Fl+ \frac{F^{2}}{2k} \geq mgl$.
