Разделы 
Дополнительно
Задача по физикe - 101
2014-05-29 
В глубокой вертикальной шахте под землей находятся два груза равной массы, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, которая перекинута через неподвижный блок. Найдите период вертикальных колебаний грузов, если радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности $10 м/с^{2}$.
Решение:
На поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело массой m, есть сила всемирного тяготения между этим телом и Землей. Если считать Землю однородным шаром с радиусом R, то
$mg= G \frac{m M}{R^{2}}$, (1)
где М - масса Земли; G - гравитационная постоянная. В шахте, когда оба груза находятся на глубине h под землей, на каждый из них со стороны Земли действует сила
$F=G \frac{m \rho V}{(R-h)^{2}}= \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h)$,
где $\rho$ - плотность Земли, $V=\frac{4}{3} \pi (R-h)^{3}$ - объем шара радиусом
R-h.
Если теперь один из грузов (например, правый) приподнять на высоту х от положения равновесия, то он окажется на глубине h-x и на него будут действовать сила натяжения нити T и гравитационная сила $F_{1}(x)$, равная
$F_{1}(x)= \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-(h-x))$.
Уравнение движения правого груза в проекции на направленную вверх координатную ось Ох примет вид
$ma_{1}=- \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h+x) + T$, (2)
где $a_{1}$ - проекция ускорения правого груза на ось Ох. Так как нить нерастяжима, то левый груз опустится на расстояние х от равновесного положения. На левый груз будут действовать направленная вертикально вверх сила натяжения нити Т, так как нить невесома, и гравитационная сила $F_{2}(x)$, равная
$F_{2}(x)=\frac{4}{3} \pi G \rho m (R- (h+x))$.
Уравнение движения левого груза в проекции на ось Ох имеет вид
$-ma_{2} = - \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h-x) + T$. (3)
Тик как нить нерастяжима, то модули ускорений правого и левого грузов равны, а их направления противоположны ($a_{1}=a_{2} \equiv a$).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получаем
$2ma=- \frac{8}{3} \pi G \rho mx$,
или
$ma+ \omega^{2} x = 0$, (4)
где введено обозначение
$\omega^{2}= \frac{4}{3} \pi G \rho$.(5)
Из уравнения (4) следует, что грузы будут совершать вертикальные гармонические колебания, период которых равен
$T=2 \pi / \omega$ .(6)
Подставим в формулу (1) массу Земли, равную $M= \rho V= \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}$.
При этом можно получить выражение для ускорения свободного падения в виде
$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$. (7)
Из (5) и (7) получаем частоту
$\omega = \sqrt{g/R}$
и период колебаний
$T=2 \pi \sqrt{R/g} \approx 80 мин$.
В глубокой вертикальной шахте под землей находятся два груза равной массы, соединенные невесомой нерастяжимой нитью, которая перекинута через неподвижный блок. Найдите период вертикальных колебаний грузов, если радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности $10 м/с^{2}$.
Решение:
На поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело массой m, есть сила всемирного тяготения между этим телом и Землей. Если считать Землю однородным шаром с радиусом R, то
$mg= G \frac{m M}{R^{2}}$, (1)
где М - масса Земли; G - гравитационная постоянная. В шахте, когда оба груза находятся на глубине h под землей, на каждый из них со стороны Земли действует сила
$F=G \frac{m \rho V}{(R-h)^{2}}= \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h)$,
где $\rho$ - плотность Земли, $V=\frac{4}{3} \pi (R-h)^{3}$ - объем шара радиусом
R-h.
Если теперь один из грузов (например, правый) приподнять на высоту х от положения равновесия, то он окажется на глубине h-x и на него будут действовать сила натяжения нити T и гравитационная сила $F_{1}(x)$, равная
$F_{1}(x)= \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-(h-x))$.
Уравнение движения правого груза в проекции на направленную вверх координатную ось Ох примет вид
$ma_{1}=- \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h+x) + T$, (2)
где $a_{1}$ - проекция ускорения правого груза на ось Ох. Так как нить нерастяжима, то левый груз опустится на расстояние х от равновесного положения. На левый груз будут действовать направленная вертикально вверх сила натяжения нити Т, так как нить невесома, и гравитационная сила $F_{2}(x)$, равная
$F_{2}(x)=\frac{4}{3} \pi G \rho m (R- (h+x))$.
Уравнение движения левого груза в проекции на ось Ох имеет вид
$-ma_{2} = - \frac{4}{3} \pi G \rho m (R-h-x) + T$. (3)
Тик как нить нерастяжима, то модули ускорений правого и левого грузов равны, а их направления противоположны ($a_{1}=a_{2} \equiv a$).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получаем
$2ma=- \frac{8}{3} \pi G \rho mx$,
или
$ma+ \omega^{2} x = 0$, (4)
где введено обозначение
$\omega^{2}= \frac{4}{3} \pi G \rho$.(5)
Из уравнения (4) следует, что грузы будут совершать вертикальные гармонические колебания, период которых равен
$T=2 \pi / \omega$ .(6)
Подставим в формулу (1) массу Земли, равную $M= \rho V= \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}$.
При этом можно получить выражение для ускорения свободного падения в виде
$g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$. (7)
Из (5) и (7) получаем частоту
$\omega = \sqrt{g/R}$
и период колебаний
$T=2 \pi \sqrt{R/g} \approx 80 мин$.
