Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 98
2014-05-31 
Тонкую легкую резину натянули обруч с радиусом r, расположенный в горизонтальной плоскости. В центре обруча к резине прикрепили маленькую гирю массой m. В поле тяжести с ускорением $g = 10 м/с^{2}$ гиря опускается вниз по отношению к плоскости обруча на величину $\alpha$, $\alpha \ll r$. Оцените период малых колебаний гири в плоскости обруча.
Решение:
Разобьем резину на маленькие секторы с углом $\varphi_{i}$ каждый, при этом $\sum_{i}{\Delta \varphi_{i}}= 2 \pi$. Будем считать, что каждый сектор подчиняется закону Гука, т. е. ведет себя как упругая пружинка. Тогда сектор действует на гирю с силой $\Delta F_{i}=k \Delta \varphi_{i} \Delta r$, где $\Delta r$ - приращение длины сектора. Коэффициент k можно определить, зная величину прогиба:
$\sum_{i}{k \Delta r \Delta \varphi_{i} \frac{\alpha}{r}}=mg$.
Замечая, что $\Delta r / \alpha = \alpha / r$, получаем
$k=\frac{mgr^{2}}{2 \pi \alpha^{3}}$.
Зная k, вычислим силу, действующую на гирю, отклоненную в некотором горизонтальном направлении $\bar{x}$ на расстояние $\Delta x \ll r$ от центра обруча, если обруч закреплен на горизонтальном столе и прогиба нет.
Из рис следует, что $\Delta r = \Delta x \cos \varphi$, так как $\Delta r \ll r$, $\Delta x \ll r$. Cила, действующая на гирю со стороны сектора, расположенного под углом $\varphi$ к направлению $\bar{x}$, равна
$\Delta F = k \Delta \varphi \Delta x \cos \varphi$.
Его проекция на направление $\bar{x}$ равна
$\Delta F= -k \Delta \varphi \Delta x \cos^{2} \varphi = - k \Delta \varphi \Delta x + k \Delta \varphi \Delta x \cos 2 \varphi / 2$.
При суммировании по всем углам $0 \leq \varphi \leq 2 \pi$ второе слагаемое даст нулевой вклад, и проекция силы, действующей на гирю в направлении смещения, будет равна
$F= - \frac{mgr^{2}}{2 \alpha^{3}} \Delta x$
Таким образом, сила пропорциональна смешению $\Delta x$ из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Для периода соответствующих гармонических колебаний получаем
$T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \alpha^{3}}{gr^{2}}}$
Тонкую легкую резину натянули обруч с радиусом r, расположенный в горизонтальной плоскости. В центре обруча к резине прикрепили маленькую гирю массой m. В поле тяжести с ускорением $g = 10 м/с^{2}$ гиря опускается вниз по отношению к плоскости обруча на величину $\alpha$, $\alpha \ll r$. Оцените период малых колебаний гири в плоскости обруча.
Решение:
Разобьем резину на маленькие секторы с углом $\varphi_{i}$ каждый, при этом $\sum_{i}{\Delta \varphi_{i}}= 2 \pi$. Будем считать, что каждый сектор подчиняется закону Гука, т. е. ведет себя как упругая пружинка. Тогда сектор действует на гирю с силой $\Delta F_{i}=k \Delta \varphi_{i} \Delta r$, где $\Delta r$ - приращение длины сектора. Коэффициент k можно определить, зная величину прогиба:
$\sum_{i}{k \Delta r \Delta \varphi_{i} \frac{\alpha}{r}}=mg$.
Замечая, что $\Delta r / \alpha = \alpha / r$, получаем
$k=\frac{mgr^{2}}{2 \pi \alpha^{3}}$.
Зная k, вычислим силу, действующую на гирю, отклоненную в некотором горизонтальном направлении $\bar{x}$ на расстояние $\Delta x \ll r$ от центра обруча, если обруч закреплен на горизонтальном столе и прогиба нет.
Из рис следует, что $\Delta r = \Delta x \cos \varphi$, так как $\Delta r \ll r$, $\Delta x \ll r$. Cила, действующая на гирю со стороны сектора, расположенного под углом $\varphi$ к направлению $\bar{x}$, равна
$\Delta F = k \Delta \varphi \Delta x \cos \varphi$.
Его проекция на направление $\bar{x}$ равна
$\Delta F= -k \Delta \varphi \Delta x \cos^{2} \varphi = - k \Delta \varphi \Delta x + k \Delta \varphi \Delta x \cos 2 \varphi / 2$.
При суммировании по всем углам $0 \leq \varphi \leq 2 \pi$ второе слагаемое даст нулевой вклад, и проекция силы, действующей на гирю в направлении смещения, будет равна
$F= - \frac{mgr^{2}}{2 \alpha^{3}} \Delta x$
Таким образом, сила пропорциональна смешению $\Delta x$ из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Для периода соответствующих гармонических колебаний получаем
$T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \alpha^{3}}{gr^{2}}}$
