Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 97
2014-05-31 
Как известно, при вычислении периода колебаний математического маятника делается замена $\sin \alpha$ на $\alpha$, где $\alpha$ - угол отклонения нити маятника от вертикали. Выясните, меньше или больше вычисленный таким образом период по сравнению с реальным. Математический маятник представляет собой точечную массу $m$, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной l.
Решение:
При отклонении нити от вертикали на угол $\alpha$ точечная масса m проходит по дуге окружности с радиусом l путь длиной $s = l \alpha$. Для проекции ускорения на направление касательной к траектории в момент времени t, когда нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью, имеем
$\alpha = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=l \frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}}$.
На направление касательной имеет составляющую только сила тяжести mg. В момент времени t эта составляющая равна
$F = - mg \sin \alpha$.
Согласно II закону Ньютона получаем
$m_{l} \frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}} = -mg \sin \alpha$. (1)
При рассмотрении малых колебаний ($\alpha \ll 1$) в уравнении (1) обычно полагают $\sin \alpha \approx \alpha$, и оно принимает вид
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}} = - \frac{g \alpha}{l}$ (2)
(уравнение гармонических колебаний). Так как $| \sin \alpha | < | \alpha | $,то ясно,
что при замене $\sin \alpha$ на $\alpha$; мы увеличиваем правую часть, а следовательно, и левую часть уравнения (1). Увеличивая в каждой точке траектории угловое ускорение $d^{2} \alpha / dt^{2}$, мы увеличиваем и угловую скорости $d \alpha / dt$. Поэтому действительный период колебаний с заданной амплитудой оказывается больше значения $T = 2 \pi \sqrt{l/g}$, получающегося из приближенного уравнения (2).
Как известно, при вычислении периода колебаний математического маятника делается замена $\sin \alpha$ на $\alpha$, где $\alpha$ - угол отклонения нити маятника от вертикали. Выясните, меньше или больше вычисленный таким образом период по сравнению с реальным. Математический маятник представляет собой точечную массу $m$, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити длиной l.
Решение:
При отклонении нити от вертикали на угол $\alpha$ точечная масса m проходит по дуге окружности с радиусом l путь длиной $s = l \alpha$. Для проекции ускорения на направление касательной к траектории в момент времени t, когда нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью, имеем
$\alpha = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=l \frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}}$.
На направление касательной имеет составляющую только сила тяжести mg. В момент времени t эта составляющая равна
$F = - mg \sin \alpha$.
Согласно II закону Ньютона получаем
$m_{l} \frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}} = -mg \sin \alpha$. (1)
При рассмотрении малых колебаний ($\alpha \ll 1$) в уравнении (1) обычно полагают $\sin \alpha \approx \alpha$, и оно принимает вид
$\frac{d^{2} \alpha}{dt^{2}} = - \frac{g \alpha}{l}$ (2)
(уравнение гармонических колебаний). Так как $| \sin \alpha | < | \alpha | $,то ясно,
что при замене $\sin \alpha$ на $\alpha$; мы увеличиваем правую часть, а следовательно, и левую часть уравнения (1). Увеличивая в каждой точке траектории угловое ускорение $d^{2} \alpha / dt^{2}$, мы увеличиваем и угловую скорости $d \alpha / dt$. Поэтому действительный период колебаний с заданной амплитудой оказывается больше значения $T = 2 \pi \sqrt{l/g}$, получающегося из приближенного уравнения (2).
