Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 95
2014-05-31 
Три одинаковых шарика массой m каждый надеты на длинную горизонтальную штангу, по которой они могут скользить без трения. Два из них связаны невесомой пружиной длиной l с коэффициентом упругости k; оба шарика покоятся. Третий шарик налетает на них со скоростью v, как показано на рис., причем $v \ll l \sqrt{k/m}$. Опишите движение шариков после абсолютно упругого удара третьего шарика о второй. Время удара и размер шариков считать пренебрежимо малыми. Найдите максимальное и минимальное расстояния между первым и вторым шариками после удара.
Решение:
Так как по условию время удара пренебрежимо мало, то длина пружины за время удара не успевает измениться и можно считать, что во время удара пружина на шарики не действует. Поэтому удар происходит так, как если бы просто столкнулись шарики 2 и 3. Поскольку массы шариков одинаковы, а удар абсолютно упругий, то из законов сохранения импульса и энергии следует, что в результате удара шарик 3 останавливается, а шарик 2 приобретает скорость v. Состояние системы сразу же после удара, шарики 1 и 3 покоятся, а шарик 2 движется налево со скоростью v.
Дальнейшее движение шариков будем рассматривать в системе отсчета, связанной с центром масс шариков 1 и 2. Эта система отсчета движется относительно исходной влево с постоянной скоростью $v/2$.
В новой системе отсчета шарики 1 и 2 после удара двигаются замедленно с начальными скоростями $v/2$, направленными к центру пружины, а шарик 3 движется налево с постоянной скоростью $v/2$. Шарики 1 и 2 приближаются к центру пружины до тех пор, пока их скорости, а следовательно, и кинетические энергии не будут равны нулю. В этот момент расстояние между ними минимально, ($l_{min}$), их начальная кинетическая энергия $m(v/2)^{2}$ перешла в потенциальную энергию упругой деформации сжатой пружины, равную $k(l-l_{min})^{2}/2$. Так как трения нет, то по закону сохранения механической энергии
$m \left ( \frac{v}{2} \right )^{2}=k \frac{(l-l_{min})^{2}}{2}$,
откуда находим
$l_{min}=l-v \sqrt{\frac{m}{2k}}$. (1)
Из условия задачи следует, что правая часть равенства (1) положительна, следовательно, столкновения шариков 1 и 2 не происходит.
Затем под действием сжатой пружины шарики 1 и 2 приходят в движение, удаляясь от ее центра. К тому моменту, когда длина пружины снова становится равной l, шарики, как это следует из закона сохранения энергии, имеют одинаковые по величине скорости, равные $v/2$ и направленные от центра пружины. Дальнейшее движение
шариков растягивает пружину, при этом их скорости падают до тех пор, пока не станут равны нулю. В этот момент расстояние между шариками максимально ($l_{max}$), их начальная кинетическая энергия полностью перешла в потенциальную энергию упругой деформации растянутой пружины $k(l_{max}-l)^{2}/2$. Воспользовавшись законом сохранения энергии, находим
$l_{max}=l+v \sqrt{m/(2k)}$.
В последующем шарики 1 и 2 снова начнут сближаться друг с другом. Из приведенного анализа следует также, что повторного столкновения шариков 2 и 3 не произойдет - скорость шарика 2 не превосходит $v/2$.
Итак, в движущейся системе отсчета шарики, скрепленные пружиной, колеблются около своих начальных положений. Найдем частоту этих колебаний. При смещении шариков 1 и 2 от положения равновесия на величину х пружина оказывается сжатой (или растянутой) до размеров $l \mp 2x$, и на шарики 1 и 2 с ее стороны действует
сила $F = - 2kx$. Таким образом, уравнением движения шарика 1 (и шарика 2) служит равенство
$ma = - 2kx$.
Это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{2k/m}$. В исходной (неподвижной) системе отчета после удара шарик 3 покоиться, а центр пружины с шариками 1 и 2 на концах движется влево с скоростью $v/2$, при этом пружина периодически (с частотой $\omega$) расжимается.
Три одинаковых шарика массой m каждый надеты на длинную горизонтальную штангу, по которой они могут скользить без трения. Два из них связаны невесомой пружиной длиной l с коэффициентом упругости k; оба шарика покоятся. Третий шарик налетает на них со скоростью v, как показано на рис., причем $v \ll l \sqrt{k/m}$. Опишите движение шариков после абсолютно упругого удара третьего шарика о второй. Время удара и размер шариков считать пренебрежимо малыми. Найдите максимальное и минимальное расстояния между первым и вторым шариками после удара.
Решение:
Так как по условию время удара пренебрежимо мало, то длина пружины за время удара не успевает измениться и можно считать, что во время удара пружина на шарики не действует. Поэтому удар происходит так, как если бы просто столкнулись шарики 2 и 3. Поскольку массы шариков одинаковы, а удар абсолютно упругий, то из законов сохранения импульса и энергии следует, что в результате удара шарик 3 останавливается, а шарик 2 приобретает скорость v. Состояние системы сразу же после удара, шарики 1 и 3 покоятся, а шарик 2 движется налево со скоростью v.
Дальнейшее движение шариков будем рассматривать в системе отсчета, связанной с центром масс шариков 1 и 2. Эта система отсчета движется относительно исходной влево с постоянной скоростью $v/2$.
В новой системе отсчета шарики 1 и 2 после удара двигаются замедленно с начальными скоростями $v/2$, направленными к центру пружины, а шарик 3 движется налево с постоянной скоростью $v/2$. Шарики 1 и 2 приближаются к центру пружины до тех пор, пока их скорости, а следовательно, и кинетические энергии не будут равны нулю. В этот момент расстояние между ними минимально, ($l_{min}$), их начальная кинетическая энергия $m(v/2)^{2}$ перешла в потенциальную энергию упругой деформации сжатой пружины, равную $k(l-l_{min})^{2}/2$. Так как трения нет, то по закону сохранения механической энергии
$m \left ( \frac{v}{2} \right )^{2}=k \frac{(l-l_{min})^{2}}{2}$,
откуда находим
$l_{min}=l-v \sqrt{\frac{m}{2k}}$. (1)
Из условия задачи следует, что правая часть равенства (1) положительна, следовательно, столкновения шариков 1 и 2 не происходит.
Затем под действием сжатой пружины шарики 1 и 2 приходят в движение, удаляясь от ее центра. К тому моменту, когда длина пружины снова становится равной l, шарики, как это следует из закона сохранения энергии, имеют одинаковые по величине скорости, равные $v/2$ и направленные от центра пружины. Дальнейшее движение
шариков растягивает пружину, при этом их скорости падают до тех пор, пока не станут равны нулю. В этот момент расстояние между шариками максимально ($l_{max}$), их начальная кинетическая энергия полностью перешла в потенциальную энергию упругой деформации растянутой пружины $k(l_{max}-l)^{2}/2$. Воспользовавшись законом сохранения энергии, находим
$l_{max}=l+v \sqrt{m/(2k)}$.
В последующем шарики 1 и 2 снова начнут сближаться друг с другом. Из приведенного анализа следует также, что повторного столкновения шариков 2 и 3 не произойдет - скорость шарика 2 не превосходит $v/2$.
Итак, в движущейся системе отсчета шарики, скрепленные пружиной, колеблются около своих начальных положений. Найдем частоту этих колебаний. При смещении шариков 1 и 2 от положения равновесия на величину х пружина оказывается сжатой (или растянутой) до размеров $l \mp 2x$, и на шарики 1 и 2 с ее стороны действует
сила $F = - 2kx$. Таким образом, уравнением движения шарика 1 (и шарика 2) служит равенство
$ma = - 2kx$.
Это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega = \sqrt{2k/m}$. В исходной (неподвижной) системе отчета после удара шарик 3 покоиться, а центр пружины с шариками 1 и 2 на концах движется влево с скоростью $v/2$, при этом пружина периодически (с частотой $\omega$) расжимается.
