2014-05-31
Две невесомые пружины имеют длины $l_{1}$, $l_{2}$ и жесткости $k_{1}$, $k_{2}$. Одна пружина вставлена в другую. Концы пружин попарно скреплены. Другими точками пружины друг друга не касаются. Какова жесткость k получившийся пружины?
Решение:
Для определенности будем считать, что $l_{1}>l_{2}$. Длина l составной пружины удовлетворяет неравенству $l_{2} > l > l_{1}$.
Пусть под действием силы $\bar{F}$, направленной вдоль оси, система пружин растягивается (сжимается) на какую-то величину $\Delta x$. По закону Гука
$\bar{F} = k \Delta x$ (1)
при этом к первой и второй пружинам оказываются приложенными
некоторые силы $\bar{F_{1}}, \bar{F_{2}}$, такие, что
$\bar{F} = \bar{F_{1}}+\bar{F_{2}}$. (2)
Пусть для определенности $\Delta х > 1_{2} - l_{1}$. Тогда обе пружины растянуты и силы $\bar{F_{1}}, \bar{F_{2}}$ направлены в одну сторону. Проецируем векторное
равенство на направление оси растянутых пружин:
$F= F_{1} + F_{2}$. (3)
Под действием сил $\bar{F_{1}}, \bar{F_{2}}$ пружины растянуты относительно их положений равновесия на величины $l-l_{1}+ \Delta x$ и $l_{2} – l + \Delta x$ соответственно. По закону Гука
$F_{1} = k_{1}(l-l_{1}+ \Delta x)$, (4)
$F_{2} = k_{2}(l_{2}-l+ \Delta x)$. (5)
Из равенств (1) - (4) получаем уравнение
$k \Delta x = k_{1}(l – l_{1}) + k_{2}(l_{2}-l) + (k_{1}+k_{2}) \Delta x$, (6)
которое должно выполняться при любых значениях $\Delta x$, в том числе
и при $\Delta x = 0$. Это возможно только в том случае, если
$k_{1}(l-l_{1})+k_{2}(l_{2}-l)=0$ (7)
С учетом (6) из (5) находим: $k = k_{1} + k_{2}$.