Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 90
2014-05-31 
Найдите все возможные значения угловой частоты $\omega$ колебаний конического маятника, образованного малым телом массой m, подвешенным на пружине с жесткостью k в поле тяжести. Длина пружины в нерастянутом состоянии l, масса ее пренебрежимо мала.
Решение:
Описанный в условии задачи конический маятник изображен на рис. Угловая частота $\omega$ колебаний такого конического маятника определяется формулой
$\omega = 2 \pi / T$, (1)
где Т - период колебаний (время, необходимое для прохождения телом полной окружности). Поскольку Т является функцией угла $\alpha$, составляемого осью пружины с вертикалью $OO^{\prime}$ ($0 < \alpha < \pi / 2$), то $\omega$ также есть функция угла $\alpha$. Найдем зависимость $\omega (\alpha)$.
На тело массой m действуют две силы: сила тяжести $m \bar{g}$ и сила натяжения пружины $\bar{T}$ (рис. б). Сумма этих сил $\bar{F}$ должна быть направлена к оси $OO^{\prime}$ и равна
$F = mv^{2}/R$, (2)
где
$R = l \sin \alpha$ (3)
- радиус окружности, по которой движется тело. Полную окружность тело проходит за время
$T = 2 \pi R/v$. (4)
Проецируя силы на горизонтальное направление, получаем
$F = mg \: tg \: \alpha$. (5)
Сила натяжения пружины определяется ее растяжением
$T=k(l-l_{0})$, (6)
где l - длина растянутой пружины. С другой стороны, тело не двигается в вертикальном направлении, следовательно
$T = mg/ \cos \alpha$. (7)
Из уравнений (1) - (7) находим
$\omega^{2}(\alpha)= \frac{kg}{mg+kl_{0} \cos \alpha}$
Принимая во внимание, что $0 < \alpha < \pi /2$, для искомой области изменения $\omega$ получаем
$\omega_{min} < \omega < \omega_{max}$,
где
$\omega_{min}=\sqrt{\frac{kg}{mg+kl_{0}}}; \omega_{max}=\sqrt{ \frac{k}{m}}$
Значение $\omega_{max}$ равно собственной частоте малых вертикальных колебаний пружинного маятника. В действительности частота $\omega$ может достичь значения $\omega_{max}$. При $\alpha \rightarrow \pi /2$, из формулы (7) получаем, что $T \rightarrow \infty $. Но сила натяжения пружины не может превосходить некоторой предельной величины, при достижении которой пружина рвется.
Найдите все возможные значения угловой частоты $\omega$ колебаний конического маятника, образованного малым телом массой m, подвешенным на пружине с жесткостью k в поле тяжести. Длина пружины в нерастянутом состоянии l, масса ее пренебрежимо мала.
Решение:
Описанный в условии задачи конический маятник изображен на рис. Угловая частота $\omega$ колебаний такого конического маятника определяется формулой
$\omega = 2 \pi / T$, (1)
где Т - период колебаний (время, необходимое для прохождения телом полной окружности). Поскольку Т является функцией угла $\alpha$, составляемого осью пружины с вертикалью $OO^{\prime}$ ($0 < \alpha < \pi / 2$), то $\omega$ также есть функция угла $\alpha$. Найдем зависимость $\omega (\alpha)$.
На тело массой m действуют две силы: сила тяжести $m \bar{g}$ и сила натяжения пружины $\bar{T}$ (рис. б). Сумма этих сил $\bar{F}$ должна быть направлена к оси $OO^{\prime}$ и равна
$F = mv^{2}/R$, (2)
где
$R = l \sin \alpha$ (3)
- радиус окружности, по которой движется тело. Полную окружность тело проходит за время
$T = 2 \pi R/v$. (4)
Проецируя силы на горизонтальное направление, получаем
$F = mg \: tg \: \alpha$. (5)
Сила натяжения пружины определяется ее растяжением
$T=k(l-l_{0})$, (6)
где l - длина растянутой пружины. С другой стороны, тело не двигается в вертикальном направлении, следовательно
$T = mg/ \cos \alpha$. (7)
Из уравнений (1) - (7) находим
$\omega^{2}(\alpha)= \frac{kg}{mg+kl_{0} \cos \alpha}$
Принимая во внимание, что $0 < \alpha < \pi /2$, для искомой области изменения $\omega$ получаем
$\omega_{min} < \omega < \omega_{max}$,
где
$\omega_{min}=\sqrt{\frac{kg}{mg+kl_{0}}}; \omega_{max}=\sqrt{ \frac{k}{m}}$
Значение $\omega_{max}$ равно собственной частоте малых вертикальных колебаний пружинного маятника. В действительности частота $\omega$ может достичь значения $\omega_{max}$. При $\alpha \rightarrow \pi /2$, из формулы (7) получаем, что $T \rightarrow \infty $. Но сила натяжения пружины не может превосходить некоторой предельной величины, при достижении которой пружина рвется.
