Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 86
2014-05-31 
Металлическая иголка диаметром d = 1 мм и длиной $l \ll d$ смазана жиром так, что ее поверхность абсолютно не смачивается водой. Найдите максимально возможную плотность $\rho$ вещества иголки. при которой она не будет тонуть в воде. Коэффициент поверхностного натяжения воды а принять равным 0,07 Н/м, а ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ .
Решение:
Максимальное значение $F_{max}$ силы поверхностного натяжения $F_{\sigma}$, действующей на иголку, будет достигаться в случае, показанном на рис. (изображено поперечное сечение). При этом сила поверхностного натяжения будет определяться по формуле
$F_{max}=2 \sigma l$. (1)
Иголка находится в равновесии, если $F_{\sigma} = mg$, следовательно, с учетом связи массы и плотности $m = \rho l \pi d^{2}/4$, получаем
$\rho_{max}=\frac{8 \sigma}{g \pi d^{2}}$
н, подставляя сюда данные из условия задачи, находим
$\rho_{max} = 1,8 \cdot 10^{4} кг/м3$.
В приведенном выше решении мы пренебрегли действием выталкивающей силы Архимеда. Оценим ее влияние на результат вычислений. Для этого найдем выталкивающую силу для конфигурации
на рис.:
$F_{A}= \rho gl(\pi d^{2}/8 + dh)l$, (2)
где h - глубина погружения оси иголки. Для определения h найдем силы, действующие на заштрихованный объем воды V в горизонтальном направлении. Это сила поверхностного натяжения налево ($F^{\prime} = \sigma l$) и сила гидростатического давления направо. Среднее значение давления $\bar{p} = \rho gh/2$, сила давления $F = \bar{p} hl = \rho gh^{2}l/2$. В равновесии $F^{\prime} = F$, откуда
$h=\sqrt{\frac{2 \sigma}{\rho g}}$.
Подставляя выражение (3) в формулу (2), получаем
$F_{A}=\rho gl \left( \frac{\pi d^{2}}{8} + d \sqrt{ \frac{2 \sigma}{ \rho g} } \right )$, (4)
Сравним численно силы поверхностного натяжения (1) и выталкивающую силу (4) на единицу длины иголки:
$F_{max}/l \approx 0,14 Н/м, F_{A}/l \approx 0,044 Н/м$.
Из этих вычислений видно, что силой Архимеда нельзя пренебречь.
Окончательный результат с учетом (4):
$\rho_{max}= \frac{2 \sigma + \rho g \left ( \frac{\pi d^{2}}{8}+d \sqrt{ \frac{2 \sigma}{\rho g}} \right )}{g \pi \frac{d^{2}}{4}} \approx 2,2 \cdot 10^{4} \frac{кг}{м^{3}}$.
Металлическая иголка диаметром d = 1 мм и длиной $l \ll d$ смазана жиром так, что ее поверхность абсолютно не смачивается водой. Найдите максимально возможную плотность $\rho$ вещества иголки. при которой она не будет тонуть в воде. Коэффициент поверхностного натяжения воды а принять равным 0,07 Н/м, а ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ .
Решение:
Максимальное значение $F_{max}$ силы поверхностного натяжения $F_{\sigma}$, действующей на иголку, будет достигаться в случае, показанном на рис. (изображено поперечное сечение). При этом сила поверхностного натяжения будет определяться по формуле
$F_{max}=2 \sigma l$. (1)
Иголка находится в равновесии, если $F_{\sigma} = mg$, следовательно, с учетом связи массы и плотности $m = \rho l \pi d^{2}/4$, получаем
$\rho_{max}=\frac{8 \sigma}{g \pi d^{2}}$
н, подставляя сюда данные из условия задачи, находим
$\rho_{max} = 1,8 \cdot 10^{4} кг/м3$.
В приведенном выше решении мы пренебрегли действием выталкивающей силы Архимеда. Оценим ее влияние на результат вычислений. Для этого найдем выталкивающую силу для конфигурации
на рис.:
$F_{A}= \rho gl(\pi d^{2}/8 + dh)l$, (2)
где h - глубина погружения оси иголки. Для определения h найдем силы, действующие на заштрихованный объем воды V в горизонтальном направлении. Это сила поверхностного натяжения налево ($F^{\prime} = \sigma l$) и сила гидростатического давления направо. Среднее значение давления $\bar{p} = \rho gh/2$, сила давления $F = \bar{p} hl = \rho gh^{2}l/2$. В равновесии $F^{\prime} = F$, откуда
$h=\sqrt{\frac{2 \sigma}{\rho g}}$.
Подставляя выражение (3) в формулу (2), получаем
$F_{A}=\rho gl \left( \frac{\pi d^{2}}{8} + d \sqrt{ \frac{2 \sigma}{ \rho g} } \right )$, (4)
Сравним численно силы поверхностного натяжения (1) и выталкивающую силу (4) на единицу длины иголки:
$F_{max}/l \approx 0,14 Н/м, F_{A}/l \approx 0,044 Н/м$.
Из этих вычислений видно, что силой Архимеда нельзя пренебречь.
Окончательный результат с учетом (4):
$\rho_{max}= \frac{2 \sigma + \rho g \left ( \frac{\pi d^{2}}{8}+d \sqrt{ \frac{2 \sigma}{\rho g}} \right )}{g \pi \frac{d^{2}}{4}} \approx 2,2 \cdot 10^{4} \frac{кг}{м^{3}}$.
