2014-05-30
Шайба массой М, имеющая форму цилиндра с площадью основания S и высотой h, плавает на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ ($\rho_{1} < \rho_{2}$). Основание шайбы параллельно границе раздела жидкостей. Найдите глубину погружения шайбы в нижнюю жидкость.
Решение:
Очевидно, что более легкая жидкость находится сверху (в противном случае равновесие системы неустойчиво и любые сколь угодно малые флуктуации поверхности раздела приведут систему в устойчивое равновесное состояние). Плотность вещества шайбы обозначим через $\rho$. По условию задачи $\rho=M/(Sh)$.
Если $\rho_{2} < \rho_{1}$, то шайба всплывает. Если $\rho > \rho_{2}$, то шайба тонет. Следовательно, из условия задачи вытекает, что $\rho_{1} < \rho < \rho_{2}$. Обозначим высоту части шайбы, находящейся в нижней жидкости,
через $h_{2}$. Пусть $p_{1}$ - давление в жидкости на уровне верхнего основания шайбы, $p_{2}$ - на уровне нижнего основания, $p_{2}$ превышает $p_{1}$ на величину, численно равную весу соответствующего столба жидкости с единичной площадью поперечного сечения: $p_{2}=p_{1}+g(\rho_{1}(h-h_{2})+\rho_{2}h_{2})$, где g - ускорение свободного падения.
Сила гидростатического давления $F_{A}$, действующая на шайбу и выталкивающая ее вверх, может быть записана как
$F_{A}=(p_{2}-p_{1})S=gS(\rho_{1}(h-h_{2})+\rho_{2}h_{2})$.
Так как шайба находится в равновесии, то $F_{A} = Mg$. Следовательно, искомая величина
$h_{2}=h \frac{\rho-\rho_{1}}{\rho_{2}-\rho_{1}}$
Из полученного выражения видно, что при изменении $\rho$ от $\rho_{2}$ до $\rho_{1}$ глубина погружения в нижнюю жидкость меняется от h до 0.