2014-05-30
Поверхность сплетенной пауком паутины горизонтальна. Когда паук находится в ее центре, паутина прогибается, величина прогиба $x_{0}=1 мм$. Муха, попав в паутину, начинает биться. Можно ли по частоте резонансных колебаний определить, превосходит масса мухи массу паука или нет?
Решение:
Паутина представляет собой упругую систему с нулевой массой. Считая, что при малых растяжениях паутины действующие в ней силы подчиняются закону Гука, можно написать следующее уравнение:
$m_{0}g=kx_{0}$. (1)
Здесь $m_{0}$ - масса паука;g - ускорение свободного падения; k - коэффициент упругости паутины.
Паутина, нагруженная пауком массой $m_{0}$, и паутина, нагруженная мухой массой m, представляют собой разные колебательные системы. Круговые частоты $\omega_{0}$ и $\omega$ собственных (резонансных) колебаний этих систем определяются формулами
$\omega_{0}=2 \pi / T_{0}=\sqrt{k/m_{0}},\omega=2 \pi /T= \sqrt{k/m}$. (2)
Здесь $T_{0}$ и $T$ - периоды собственных колебаний систем.
Из системы уравнений (2) нетрудно получить равенство
$ m/m_{0}=\omega^{2}_{0}/ \omega^{2}$, (3)
содержащее не известную пока величину $\omega_{0}$. Последнюю нетрудно
найти, исключая с помощью (1) из первого равенства (2) отношение
$k/m_{0}$
$\omega_{0}=\sqrt{g/x_{0}}$. (4)
Подставляя (4) в (3), находим
$m/m_{0}=g/(x_{0}\omega^{2})$.
Отсюда ясно, что если масса мухи превосходит массу паука, то
$\omega < \sqrt{g/x_{0}}$,
но с учетом численных данных задачи, эквивалентно условию
$\omega < 100 c^{-1}$.
Итак но частоте резонансных колебаний паутины с мухой можно определить, превосходит масса мухи массу паука или нет.