2014-05-30
Космонавт, выйдя в открытый космос, остался связан с кораблем посредством троса, длина которого l = 64 м. Масса космонавта m = 100 кг, масса троса пренебрежимо мала, масса корабля M = 10 т. Найдите силу натяжения троса, считая, что корабль находится между космонавтом и Землей, а трос все время направлен вдоль прямой, проходящей через центр Земли. Орбита корабля - окружность радиусом R = 6400 км, ускорение свободного падения g на орбите корабля равно $10 \: м/с^{2}$, размеры корабля много меньше l.
Решение:
Силы, действующие на космонавта и корабль, показаны па (рис.). На космонавта действуют сила тяжести $m \bar{g^{\prime}}$ и сила натяжения троса $\bar{Т}$, направленные к центру Земли. На корабль действуют сила тяжести $M \bar{g}$, направленная также к центру Земли, и сила натяжения троса $- \bar{Т}$, направленная в противоположную сторону. (Учитываем, что ускорение свободного падения на орбите корабля и на орбите космонавта отличаются.)
Из условия задачи следует, что космонавт и корабль движутся вокруг Земли с одинаковой угловой скоростью $\omega$ и обладают центростремительными ускорениями $\omega^{2}(R+l)$ и $\omega^{2}R$ соответственно. Согласно II закону Ньютона движение космонавта и корабля по окружности описывается формулами
$m \omega^{2}(R+l)=mg^{\prime}+T$, (1)
$M \omega^{2} R=Mg-T$. (2)
Эта система из двух уравнении содержит два неизвестных $\omega$ и T
Решая ее относительно Т, получаем
$T=\frac{mM \left [lg+R(g-g^{\prime}) \right ] }{MR+m(R+l)}$ (3)
Оценим величину $g-g^{\prime}$.
Так как g обратно пропорционально расстоянию R до центра Земли, $g \sim 1/R$, то можно написать:
$ g^{\prime}=g \frac{R^{2}}{(R+l)^{2}} \approx g \left( 1-2\frac{l}{R}\right)$,
$ g-g^{\prime} \approx 2g \frac{l}{R}$. (4)
Видим, что вкладом разности ускорений (4) в формуле (3) пренебречь нельзя, и получаем
$T=\frac{3mMgl}{MR+m(R+l)} \approx 3mg \frac{l}{R} \approx 3 \cdot 10^{-2} Н$. (5)
В процессе решения мы пренебрегли силой притяжения между кораблем и космонавтом $F = GmM/l^{2} \approx 2 \cdot 10^{-8} Н$. Поскольку $F \|| T$, это пренебрежение вполне оправдано.