Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 61
2014-05-30 
Частица массой $m$ движется под действием некой силы по круговой орбите радиусом $R$ с постоянной скоростью. Потенциальная энергия $U$ частицы в поле этой силы зависит только от расстояния до центра орбиты следующим образом:
a) $U(R) = kR (k > 0)$;
б) $U(R)=kR^{2} \: (k>0)$.
Найдите скорость частицы в случаях а) и б).
Решение:
Частица массой $m$ движется по окружности радиуса $R$ с постоянной скоростью $v$, если на нее действует постоянная по величине сила $F$, направленная в любой момент времени к центру окружности. Эта сила создает центростремительное ускорение $v^{2}/R$, и по II закону Ньютона
$F = mv^{2}/R$. (1)
Формула (1) позволяет определить скорость частицы и, если известна сила $F$ как функция от $R$:
$v = \sqrt {RF(R)/m}$. (2)
Найдем связь функции $F(R)$ с величиной $U(R)$.
Будем мысленно перемешать частицу с некоторой постоянной скоростью (чтобы ее кинетическая энергия оставалась неизменной) в поле с потенциальной энергией $U(R)$ вдоль произвольного радиуса. Для этого на частицу надо воздействовать внешней по отношению к системе "частица-поле" силой $F(R)$, равной по величине искомой силе и направленной противоположно, т. е. от центра. Суммарная сила будет равна нулю, и поэтому движение будет равномерным. Сила F(R) на пути $\Delta R$ из точки с радиальной координатой R в точку с радиальной координатой $R + \Delta R$ совершает работу $\Delta A \approx F(R) \Delta R$. Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше величина $\Delta R$. Вся работа $\Delta A$, совершаемая внешней силой, идет на пополнение только потенциальной энергии системы “частица-поле" (кинетическая энергия постоянна!). В результате совершения этой работы потенциальная энергия системы увеличивается на величину $\Delta U = \Delta A \approx F(R) \Delta R$. Отсюда приближенно $F(R) \approx \Delta U / \Delta R$. Чем меньше $\Delta R$, тем точнее будет это равенство. В пределе при $\Delta R \rightarrow 0$ мы получаем точное равенство:
$F(R)=\lim_{\Delta R \rightarrow 0} \Delta U/ \Delta R=dU/dR$. (3)
Итак, искомая функция $F(R)$ равна производной от потенциальной энергии $U(R)$ по $R$.
Используя общую формулу (3), в случае а) получаем
$F(R) = dU/dR = k$, (4)
т. е. $F$ - постоянная, не зависящая от $R$ величина. Подставляя в (2) выражение (4), находим:
$v = \sqrt{kR/m}$.
В случае б):
$F(R) = dU/dR=2kR$. (5)
Подставляя в (2) выражение (5), имеем:
$v = R \sqrt{2k/m}$.
Частица массой $m$ движется под действием некой силы по круговой орбите радиусом $R$ с постоянной скоростью. Потенциальная энергия $U$ частицы в поле этой силы зависит только от расстояния до центра орбиты следующим образом:
a) $U(R) = kR (k > 0)$;
б) $U(R)=kR^{2} \: (k>0)$.
Найдите скорость частицы в случаях а) и б).
Решение:
Частица массой $m$ движется по окружности радиуса $R$ с постоянной скоростью $v$, если на нее действует постоянная по величине сила $F$, направленная в любой момент времени к центру окружности. Эта сила создает центростремительное ускорение $v^{2}/R$, и по II закону Ньютона
$F = mv^{2}/R$. (1)
Формула (1) позволяет определить скорость частицы и, если известна сила $F$ как функция от $R$:
$v = \sqrt {RF(R)/m}$. (2)
Найдем связь функции $F(R)$ с величиной $U(R)$.
Будем мысленно перемешать частицу с некоторой постоянной скоростью (чтобы ее кинетическая энергия оставалась неизменной) в поле с потенциальной энергией $U(R)$ вдоль произвольного радиуса. Для этого на частицу надо воздействовать внешней по отношению к системе "частица-поле" силой $F(R)$, равной по величине искомой силе и направленной противоположно, т. е. от центра. Суммарная сила будет равна нулю, и поэтому движение будет равномерным. Сила F(R) на пути $\Delta R$ из точки с радиальной координатой R в точку с радиальной координатой $R + \Delta R$ совершает работу $\Delta A \approx F(R) \Delta R$. Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше величина $\Delta R$. Вся работа $\Delta A$, совершаемая внешней силой, идет на пополнение только потенциальной энергии системы “частица-поле" (кинетическая энергия постоянна!). В результате совершения этой работы потенциальная энергия системы увеличивается на величину $\Delta U = \Delta A \approx F(R) \Delta R$. Отсюда приближенно $F(R) \approx \Delta U / \Delta R$. Чем меньше $\Delta R$, тем точнее будет это равенство. В пределе при $\Delta R \rightarrow 0$ мы получаем точное равенство:
$F(R)=\lim_{\Delta R \rightarrow 0} \Delta U/ \Delta R=dU/dR$. (3)
Итак, искомая функция $F(R)$ равна производной от потенциальной энергии $U(R)$ по $R$.
Используя общую формулу (3), в случае а) получаем
$F(R) = dU/dR = k$, (4)
т. е. $F$ - постоянная, не зависящая от $R$ величина. Подставляя в (2) выражение (4), находим:
$v = \sqrt{kR/m}$.
В случае б):
$F(R) = dU/dR=2kR$. (5)
Подставляя в (2) выражение (5), имеем:
$v = R \sqrt{2k/m}$.
