2014-05-30
Определите радиус r орбиты спутника Земли, который все время находится над одной и той же точкой земной поверхности.
Решение:
Орбита, по которой должен двигаться спутник, находится в плоскости, проходящей через земной экватор. В противном случае широта, на которой находится спутник, будет меняться. Кроме того, орбита должна быть круговой, так как по эллиптической орбите спутник, в отличие от Земли, вращается неравномерно. Таким образом, надо найти радиус r круговой орбиты в плоскости экватора с периодом обращения спутника Т = 24 ч. Из уравнения движения спутника получаем
$v^{2}/r=GM/r^{2}$,
где v -скорость движения спутника, М - масса Земли, G - гравитационная постоянная. Замечая, что $g=GM/R^{2}_{З}$, получаем для периода обращения
$T=2 \pi \frac{r}{v}=2 \pi \sqrt{\frac{r^{3}}{ R^{2}_{З}g}}$
Из этого выражения легко находим радиус орбиты спутника
$r=R_{З} \left ( \frac{gT^{2}}{4 \pi^{2} R_{З}}\right )^{1/3}=6,4R_{З}=42,24 \cdot 10^{2} км$