Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 59
2014-05-30 
Пусть имеется шар, радиус которого равен радиусу Земли, а масса массе Земли. На шаре расположено некоторое малое тело. Шар начинает вращаться вокруг оси, перпендикулярной к радиусу, соединяющее тело с центром шара. Опишите, что будет происходить с телом мчим при медленном увеличении угловой скорости шара. Между
поверхностями тела и шара существует трение.
Решение:
Когда шар покоится, на тело действуют уравновешивающее друг друга силы. Это сила тяготения $F$ и сила реакции $N$. C момента начала вращения шара на тело начинает действовать третья сила - сила трения $F_{T}$ направленная по касательной к поверхности шара в сторону вращения. Эта сила вначале сообщает телу угловое ускорение, равное угловому ускорению шара. Благодаря этому тело первое время движется вместе с шаром без проскальзывания, сохраняя постоянное положение на его поверхности. Сила трения, а точнее, сила трения покоя $F_{T}$ (тело относительно поверхности шара неподвижно!) не может принимать сколь угодно большие значения. Она ограничена значением $F_{max} = \mu Q$, где $\mu$ - коэффициент трения, a $Q$ - сила нормального давления, равная по величине силе реакции $N$ ($Q = N$). Силу $N$ нетрудно найти. Под действием разности сил $F$ и $N$ тело получает центростремительное ускорение $a=\omega^{2}r$ (здесь $\omega$ - угловая скорость, $r$ - радиус шара). По II закону Ньютона $F - N = m \omega^{2}r$ ($m$ - масса тела). Принимая во внимание, что $F = GmM/r^{2}$ ($G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса шара), находим:
$N=m \left ( G \frac{M}{r} - \omega^{2}r \right)$. (1)
Из формулы (1) видно, что с увеличением угловой скорости вращения шара $\omega$ сила реакции $N$, а следовательно, и сила нормального давления $Q$ тела на шар, и значение максимальной силы трения покоя $F_{max}$ уменьшаются. При дальнейшем увеличении угловой скорости шара тело начнет проскальзывать, т. е. угловая скорость шара будет больше угловой скорости тела. И, наконец, при некотором значении угловой скорости тела сила реакции опоры и сила трения обратятся в ноль. Из равенства (1) следует, что
$\omega^{2}_{max}=G \frac{M}{r^{2}}$
При этой угловой скорости тело перестает давить на шар, приобретает первую космическую скорость и превращается в спутник, вращающийся по круговой орбите. В дальнейшем растет только угловая скорость шара, а угловая скорость тела сохраняет постоянное значение.
Пусть имеется шар, радиус которого равен радиусу Земли, а масса массе Земли. На шаре расположено некоторое малое тело. Шар начинает вращаться вокруг оси, перпендикулярной к радиусу, соединяющее тело с центром шара. Опишите, что будет происходить с телом мчим при медленном увеличении угловой скорости шара. Между
поверхностями тела и шара существует трение.
Решение:
Когда шар покоится, на тело действуют уравновешивающее друг друга силы. Это сила тяготения $F$ и сила реакции $N$. C момента начала вращения шара на тело начинает действовать третья сила - сила трения $F_{T}$ направленная по касательной к поверхности шара в сторону вращения. Эта сила вначале сообщает телу угловое ускорение, равное угловому ускорению шара. Благодаря этому тело первое время движется вместе с шаром без проскальзывания, сохраняя постоянное положение на его поверхности. Сила трения, а точнее, сила трения покоя $F_{T}$ (тело относительно поверхности шара неподвижно!) не может принимать сколь угодно большие значения. Она ограничена значением $F_{max} = \mu Q$, где $\mu$ - коэффициент трения, a $Q$ - сила нормального давления, равная по величине силе реакции $N$ ($Q = N$). Силу $N$ нетрудно найти. Под действием разности сил $F$ и $N$ тело получает центростремительное ускорение $a=\omega^{2}r$ (здесь $\omega$ - угловая скорость, $r$ - радиус шара). По II закону Ньютона $F - N = m \omega^{2}r$ ($m$ - масса тела). Принимая во внимание, что $F = GmM/r^{2}$ ($G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса шара), находим:
$N=m \left ( G \frac{M}{r} - \omega^{2}r \right)$. (1)
Из формулы (1) видно, что с увеличением угловой скорости вращения шара $\omega$ сила реакции $N$, а следовательно, и сила нормального давления $Q$ тела на шар, и значение максимальной силы трения покоя $F_{max}$ уменьшаются. При дальнейшем увеличении угловой скорости шара тело начнет проскальзывать, т. е. угловая скорость шара будет больше угловой скорости тела. И, наконец, при некотором значении угловой скорости тела сила реакции опоры и сила трения обратятся в ноль. Из равенства (1) следует, что
$\omega^{2}_{max}=G \frac{M}{r^{2}}$
При этой угловой скорости тело перестает давить на шар, приобретает первую космическую скорость и превращается в спутник, вращающийся по круговой орбите. В дальнейшем растет только угловая скорость шара, а угловая скорость тела сохраняет постоянное значение.
