Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 57
2014-05-30 
Вычислите первую космическую скорость при старте с поверхности Юпитера, если известно, что один из его спутников вращается и по почти круговой орбите радиусом $r = 10^{6} км$ с периодом $T = 7,1 сут$. Радиус Юпитера $R = 7 \cdot 10^{4} км$.
Решение:
Спутник, вращающийся на орбите радиусом $r$ с периодом $T$, двигается с центростремительным ускорением
$a_{цс}=\frac{v^{2}}{r}=4 \pi^{2}r/T^{2}$. (1)
Это ускорение создается силой притяжения со стороны планеты. Из II закона Ньютона следует $a_{цс}$, что
$ a_{цс}=GM/r^{2}$, (2)
где $M$ - масса Юпитера. Приравнивая правые части (1) и (2), находим:
$GM=4 \pi^{2}r^{3}/T^{2}$. (3)
Первая космическая скорость $v_{1}$ - это скорость спутника на орбите, проходящей вблизи планеты радиусом $R$, т. е. при $r = R$. Она должна удовлетворять условию
$v^{2}_{1}/R= a_{цс}=GM/R^{2}$. (4)
Заменяя в (4) произведение $GM$ правой частью (3) и решая затем получающееся уравнение относительно $v_{1}$, находим:
$v_{1}=\frac{2 \pi r}{T} \sqrt{\frac{r}{R}} \approx 3,32 \cdot 10^{2} \frac{км}{сут}=1,38 \cdot \frac{км}{ч}=38,3 \frac{км}{с}$
Вычислите первую космическую скорость при старте с поверхности Юпитера, если известно, что один из его спутников вращается и по почти круговой орбите радиусом $r = 10^{6} км$ с периодом $T = 7,1 сут$. Радиус Юпитера $R = 7 \cdot 10^{4} км$.
Решение:
Спутник, вращающийся на орбите радиусом $r$ с периодом $T$, двигается с центростремительным ускорением
$a_{цс}=\frac{v^{2}}{r}=4 \pi^{2}r/T^{2}$. (1)
Это ускорение создается силой притяжения со стороны планеты. Из II закона Ньютона следует $a_{цс}$, что
$ a_{цс}=GM/r^{2}$, (2)
где $M$ - масса Юпитера. Приравнивая правые части (1) и (2), находим:
$GM=4 \pi^{2}r^{3}/T^{2}$. (3)
Первая космическая скорость $v_{1}$ - это скорость спутника на орбите, проходящей вблизи планеты радиусом $R$, т. е. при $r = R$. Она должна удовлетворять условию
$v^{2}_{1}/R= a_{цс}=GM/R^{2}$. (4)
Заменяя в (4) произведение $GM$ правой частью (3) и решая затем получающееся уравнение относительно $v_{1}$, находим:
$v_{1}=\frac{2 \pi r}{T} \sqrt{\frac{r}{R}} \approx 3,32 \cdot 10^{2} \frac{км}{сут}=1,38 \cdot \frac{км}{ч}=38,3 \frac{км}{с}$
