Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 55
2014-05-30 
Некоторая планета целиком состоит из несжимаемой жидкости плотностью $\rho$. Температура в глубине планеты постоянна. Найдите зависимость давления от глубины. Радиус планеты $R$.
Решение:
Расстояние от данной точки до центра планеты будем характеризовать радиусом $r$. Требуется найти зависимость давления $p$ внутри планеты от $r$, т. е. функцию $p(r)$.
Рассмотрим узкий столб жидкости, расположенный вдоль радиуса планеты. Одно основание столба находится на расстоянии $r$ от центра планеты, а другое - на поверхности. Площадь поперечного сечения столба обозначим через $S$. Результирующая сила, действующая на этот столб, складывается из силы давления
$F_{1}=p(r)S$, (1)
направленной вдоль радиуса к поверхности, и из силы тяжести $F_{2}$, направленной в противоположную сторону. Найдем силу тяжести $F_{2}$. Сложность ее вычисления состоит в учете того, что на разные малые элементы рассматриваемого столба действуют разные силы тяжести.
Выделим небольшой элемент столба, нижнее основание которого расположено на расстоянии $r$ от центра планеты, а верхнее на расстоянии $r + dr$. Объем $dV$ этого элемента дается формулой $dV = S dr$, а масса $dm = \rho dV$. На этот элемент столба действует сила тяжести со стороны жидкости, заключенной в шаре радиусом r с массой $M(r) = \rho \frac{4}{3} \pi r^{2}$. Результирующее действие на массу $dm$ со стороны остальных частей планеты равна нулю. Действие шара массой $M(r)$ на массу $dm$ эквивалентно действию точечной массы $M(r)$, расположенной в центре шара. С учетом этого замечания, для силы $dF$, действующей со стороны шара с массой $M(r)$ на массу $dm$, можно написать:
$dF=G \frac{M(r)dm}{r^{2}}= \frac{4}{3} \pi \rho^{2} Srdr$.
Разделив обе части этого равенства на $dr$, получим
$f(r)=\frac{dF}{dr}= G \frac{4}{3} \pi \rho^{2} Srdr $,
где $f(r)$ - сила тяжести, действующая на элемент столба единичной длины, находящийся на расстоянии $r$ от центра планеты; $f(r)$ есть линейная функция от r. Результирующая сила тяжести $F_{2}$, действующая на весь рассматриваемый столб, численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(r)$, снизу осью абсцисс, с боков начальной и конечной ординатами:
$F_{2}=\frac{Rf(R)-rf(r)}{2}=G \frac{2}{3} \pi \rho^{2} S (R^{2}-r^{2})$. (2)
Поскольку рассматриваемый столб жидкости находится в равновесии, то $F_{1}=F_{2}$. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), находим:
$p(r)= G \frac{2}{3} \pi \rho^{2} (R^{2}-r^{2})$
Переходя в этом выражении от переменной $r$ к "глубине" $h=R-r$ получаем
$ p(r)= G \frac{4}{3} \pi R \rho^{2} h \left ( 1-\frac{h}{2R} \right )= \rho gh \left ( 1-\frac{h}{2R} \right )$.
Здесь $g=G \frac{4}{3} \pi R \rho$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты. На малых глубинах ($h \|| R$) давление описывается известным выражением
$p(h) \approx \rho gh$.
Давление в центре планеты (при $h=R$) оказывается равным
$p(0)=\rho gR/2$.
Некоторая планета целиком состоит из несжимаемой жидкости плотностью $\rho$. Температура в глубине планеты постоянна. Найдите зависимость давления от глубины. Радиус планеты $R$.
Решение:
Расстояние от данной точки до центра планеты будем характеризовать радиусом $r$. Требуется найти зависимость давления $p$ внутри планеты от $r$, т. е. функцию $p(r)$.
Рассмотрим узкий столб жидкости, расположенный вдоль радиуса планеты. Одно основание столба находится на расстоянии $r$ от центра планеты, а другое - на поверхности. Площадь поперечного сечения столба обозначим через $S$. Результирующая сила, действующая на этот столб, складывается из силы давления
$F_{1}=p(r)S$, (1)
направленной вдоль радиуса к поверхности, и из силы тяжести $F_{2}$, направленной в противоположную сторону. Найдем силу тяжести $F_{2}$. Сложность ее вычисления состоит в учете того, что на разные малые элементы рассматриваемого столба действуют разные силы тяжести.
Выделим небольшой элемент столба, нижнее основание которого расположено на расстоянии $r$ от центра планеты, а верхнее на расстоянии $r + dr$. Объем $dV$ этого элемента дается формулой $dV = S dr$, а масса $dm = \rho dV$. На этот элемент столба действует сила тяжести со стороны жидкости, заключенной в шаре радиусом r с массой $M(r) = \rho \frac{4}{3} \pi r^{2}$. Результирующее действие на массу $dm$ со стороны остальных частей планеты равна нулю. Действие шара массой $M(r)$ на массу $dm$ эквивалентно действию точечной массы $M(r)$, расположенной в центре шара. С учетом этого замечания, для силы $dF$, действующей со стороны шара с массой $M(r)$ на массу $dm$, можно написать:
$dF=G \frac{M(r)dm}{r^{2}}= \frac{4}{3} \pi \rho^{2} Srdr$.
Разделив обе части этого равенства на $dr$, получим
$f(r)=\frac{dF}{dr}= G \frac{4}{3} \pi \rho^{2} Srdr $,
где $f(r)$ - сила тяжести, действующая на элемент столба единичной длины, находящийся на расстоянии $r$ от центра планеты; $f(r)$ есть линейная функция от r. Результирующая сила тяжести $F_{2}$, действующая на весь рассматриваемый столб, численно равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(r)$, снизу осью абсцисс, с боков начальной и конечной ординатами:
$F_{2}=\frac{Rf(R)-rf(r)}{2}=G \frac{2}{3} \pi \rho^{2} S (R^{2}-r^{2})$. (2)
Поскольку рассматриваемый столб жидкости находится в равновесии, то $F_{1}=F_{2}$. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), находим:
$p(r)= G \frac{2}{3} \pi \rho^{2} (R^{2}-r^{2})$
Переходя в этом выражении от переменной $r$ к "глубине" $h=R-r$ получаем
$ p(r)= G \frac{4}{3} \pi R \rho^{2} h \left ( 1-\frac{h}{2R} \right )= \rho gh \left ( 1-\frac{h}{2R} \right )$.
Здесь $g=G \frac{4}{3} \pi R \rho$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты. На малых глубинах ($h \|| R$) давление описывается известным выражением
$p(h) \approx \rho gh$.
Давление в центре планеты (при $h=R$) оказывается равным
$p(0)=\rho gR/2$.
