Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 53
2014-05-30 
Как влияют притяжение Солнца и вращение Земли на показания пружинных весов, измеряющих вес тела на экваторе в полдень и в полночь? Считать, что ось вращения Земли перпендикулярна к плоскости орбиты.
Решение:
На тело, подвешенное на пружинных весах, действуют силы: притяжения Земли $mg$, притяжения Солнца $G \frac{M_{C}m}{R^{\prime \: 2}}$ ($R^{\prime}$ - расстояние от тела до центра Солнца), натяжения пружины P (показание весов). Под действием этих сил тело испытывает ускорения, связанные с вращением Земли вокруг своей оси
$a_{1}=\frac{4 \pi^{2}r}{\tau^{2}}=\omega^{2}r$ ($\tau =1 \: сут$)
и вращением Земли вокруг Солнца
$a_{2}=\frac{4 \pi^{2}r}{T^{2}}=G \frac{M_{C}}{R^{2}}$ $T=1 \: г$
Здесь R - радиус орбиты Земли и r - радиус Земли. В полдень (индекс 1) и в полночь (индекс 2) тело, центр Земли и Солнце находятся на одной прямой, поэтому все силы и ускорения направлены по одной оси. По II закону Ньютона получаем:
$mg-P_{1}- G \frac{M_{C}m}{R^{2}_{1}}=m \left ( \omega^{2}r - m G \frac{M_{C}}{R^{2}} \right )$, (1)
$ mg-P_{2}- G \frac{M_{C}m}{R^{2}_{2}}=m \left ( \omega^{2}r + m G \frac{M_{C}}{R^{2}} \right )$, (2)
где $R_{1}=R-r, R_{2}=R+r$, - расстояния от тела до центра Солнца в полдень и в полночь соответственно.
Из этих уравнений можно получить значения $P_{1}$ и $P_{2}$. При выполнении следует учесть малость радиуса Земли по сравнению с радиусом ее орбиты:
$\frac{1}{R \pm r}^{2} \simeq \frac{1}{R^{2}} \left( 1 \mp \frac{2r}{R} \right)$.
Результат вычислений:
$P_{1} \approx P_{2} \approx m \left( g- \frac{4 \pi^{2}r }{\tau^{2}} - 2\frac{4 \pi^{2}r}{T^{2}} \right)$ (3)
Видно, что последним слагаемым в правой части равенства (3) можно пренебречь ($T \gg \tau$).
Ответ:
Поправки к весу тела, связанные с вращением Земли вокруг своей оси вокруг Солнца, в полдень и в полночь одинаковы и равны
$\Delta P \approx -4 \pi^{2} mr \frac{1}{\tau^{2}} \approx – 0,0034 mg$
Как влияют притяжение Солнца и вращение Земли на показания пружинных весов, измеряющих вес тела на экваторе в полдень и в полночь? Считать, что ось вращения Земли перпендикулярна к плоскости орбиты.
Решение:
На тело, подвешенное на пружинных весах, действуют силы: притяжения Земли $mg$, притяжения Солнца $G \frac{M_{C}m}{R^{\prime \: 2}}$ ($R^{\prime}$ - расстояние от тела до центра Солнца), натяжения пружины P (показание весов). Под действием этих сил тело испытывает ускорения, связанные с вращением Земли вокруг своей оси
$a_{1}=\frac{4 \pi^{2}r}{\tau^{2}}=\omega^{2}r$ ($\tau =1 \: сут$)
и вращением Земли вокруг Солнца
$a_{2}=\frac{4 \pi^{2}r}{T^{2}}=G \frac{M_{C}}{R^{2}}$ $T=1 \: г$
Здесь R - радиус орбиты Земли и r - радиус Земли. В полдень (индекс 1) и в полночь (индекс 2) тело, центр Земли и Солнце находятся на одной прямой, поэтому все силы и ускорения направлены по одной оси. По II закону Ньютона получаем:
$mg-P_{1}- G \frac{M_{C}m}{R^{2}_{1}}=m \left ( \omega^{2}r - m G \frac{M_{C}}{R^{2}} \right )$, (1)
$ mg-P_{2}- G \frac{M_{C}m}{R^{2}_{2}}=m \left ( \omega^{2}r + m G \frac{M_{C}}{R^{2}} \right )$, (2)
где $R_{1}=R-r, R_{2}=R+r$, - расстояния от тела до центра Солнца в полдень и в полночь соответственно.
Из этих уравнений можно получить значения $P_{1}$ и $P_{2}$. При выполнении следует учесть малость радиуса Земли по сравнению с радиусом ее орбиты:
$\frac{1}{R \pm r}^{2} \simeq \frac{1}{R^{2}} \left( 1 \mp \frac{2r}{R} \right)$.
Результат вычислений:
$P_{1} \approx P_{2} \approx m \left( g- \frac{4 \pi^{2}r }{\tau^{2}} - 2\frac{4 \pi^{2}r}{T^{2}} \right)$ (3)
Видно, что последним слагаемым в правой части равенства (3) можно пренебречь ($T \gg \tau$).
Ответ:
Поправки к весу тела, связанные с вращением Земли вокруг своей оси вокруг Солнца, в полдень и в полночь одинаковы и равны
$\Delta P \approx -4 \pi^{2} mr \frac{1}{\tau^{2}} \approx – 0,0034 mg$
