2014-05-30
Шарик подвешен на нерастяжимой нити длиной $l$ в поле тяжести c ускорением свободного падения $g$. С какой скоростью $v$ надо подвинуть точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости?
Решение:
От неподвижной перейдем к системе отсчета, жестко связанной с точкой подвеса. В этой системе точка подвеса неподвижна, а шарику сообщается начальная горизонтальная скорость и, и результате чего он приходит во вращательное движение в вертикальной плоскости. При таком вращательном движении сила натяжения нити в любой точке траектории должна быть отлична от нуля, за исключением, может быть, верхней точки траектории, где она может обращаться в ноль. В верхней точке на шарик действует сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $\bar{T}$, обе направленные вниз. Они создают центростремительное ускорение $v^{2}_{1}/l$, где $v_{1}$ - скорость
шарика в верхней точке. По II закону Ньютона
$mg+T=m\frac{v^{2}_{1}}{l}$
Отсюда
$T=m \left ( \frac{ v^{2}_{1}}{l} - g \right )$
Можно утверждать, что тело совершит полный оборот, если в верхней точке траектории $T \geq 0$, т. е. если
$v^{2}_{1} \geq gl$ (1)
Скорость $v_{1}$ зависит от начальной скорости $v$. Согласно закону cохранения энергии
$\frac{m v^{2}_{1}}{2} + 2mgl=\frac{m v^{2}}{2}$. (2)
Из (2) и (1) находим:
$v^{2} \geq 5gl$.
Итак, чтобы шарик совершил полный оборот, ему, или его точке подвеса, надо сообщить горизонтальную скорость v, удовлетворяющую условию $v \geq \sqrt{5gl}$.