2014-05-30
Лодку тянут по воде с постоянной силой $\bar{F}$. При этом ее скорость постоянна и равна $\bar{v}$. Какой путь S пройдет лодка в воде после прекращения действия силы, если сила сопротивления движению лодки пропорциональна ее скорости относительно воды?
Решение:
Под действием силы $\bar{F}$ лодка двигалась равномерно, следовательно, по I закону Ньютона, на нее действовала еще сила сопротивления, равная $\bar{F_{c}} = -\bar{F}$. По условию задачи $F_{c} = -\alpha \bar{v}$, где $\alpha$ коэффициент трения. Как видим, $\alpha = F/v$. После прекращении действия силы F лодка двигается замедленно, так как на нее действует сила сопротивления до тех пор, пока есть скорость относительно воды. Для бесконечно малого промежутка времени $\delta t$
можно записать II закон Ньютона:
$m \delta v = - \alpha v \delta t$ (1)
Используя определение скорости $v = \delta x/ \delta t$, перепишем равенств
(1) в виде
$m \delta v = - \alpha \delta x$. (2)
Равенство (2), в отличие от (1), справедливо не только для малых, но и для любых изменении $\delta v$ и $\delta t$. Полное изменение скорости от начала торможения (когда скорость лодки была равна v) до остановки равно $\delta v = -v$, а полный пройденный путь равен $\delta x = S$. Подставляя эти значения в (2), получаем соотношение $mv = \alpha S = FS/v$, откуда
$S=mv^{2}/F$.