2014-05-30
На гладкой горизонтальной поверхности покоится массивный клип с углами при вершинах $\alpha, \beta, \gamma$, причем $\alpha= \pi /2$ и $\beta < \gamma$.На боковые грани клина ставят тела одинаковой массы (рис. а). В какую сторону начинает двигаться клин? Трение между телами и клином отсутствует.
Решение:
Пусть клин удерживается в неподвижном положении и на него ставятся тела, которые свободно соскальзывают по его граням. При этом со стороны тел на боковые грани клина действуют некоторые силы нормального давления $\bar{N_{1}}$ и $\bar{N_{2}}$ (рис. б). Вполне очевидно, что если перестать удерживать клин, то направление его движения вдоль горизонтальной оси Ох будет определяться величинами проекций сил $\bar{N_{1}}$ и $\bar{N_{2}}$ на эту ось.
Если $|\bar{N_{1x}}|>|\bar{N_{2x}}|$, то клин начинает перемещаться вправо, если
наоборот, то - влево; если же $|\bar{N_{1x}}|=|\bar{N_{2x}}|$, то клин сохранит
состояние покоя.
Итак, для ответа на поставленный в задаче вопрос достаточно рассмотреть силы, действующие при движении тел по закрепленному клипу.
Со стороны клина на помещенные на него тела действуют силы нормальной реакции $\bar{R_{1}}$ и $\bar{R_{2}}$. По III закону Ньютона
$\bar{R_{1}}=-\bar{N_{1}}$, (1)
$\bar{R_{2}}=-\bar{N_{2}}$. (2)
Кроме сил реакции на каждое тело действуют одинаковые силы тяжести $\bar{P} = m \bar{g}$. Силы реакции принимают такие значения, что равнодействующие $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$ сил, приложенных к телам, направлены вниз параллельно соответствующим граням клина. Рассматривая прямоугольные треугольники, катетами которых служат векторы $\bar{R_{1}},\bar{F_{1}}$ и $\bar{R_{2}},\bar{F_{2}}$, для длин векторов $\bar{R_{1}}$ и $\bar{R_{2}}$ находим:
$R_{1}=mg \cos \gamma = mg \cos (\pi / 2 - \beta)=mg \sin \beta$
$R_{2}=mg \ cos \beta$
Величины проекций $R_{1x},R_{2x}$ векторов bar{R_{1}} и $\bar{R_{2}}$ на ось Ох даются формулами
$R_{1x}=|\bar{R_{1}}| \sin \gamma = |\bar{R_{1}}| \cos \beta = mg \cos \beta \sin \beta$, (3)
$R_{2x}=|\bar{R_{2}}| \sin \beta=mg \cos \beta \sin \beta$. (4)
В силу равенств (1) - (4)
$|N_{1x}|=|R_{1x}|=mg \cos \beta \sin \beta$,
$|N_{2x}|=|R_{2x}|=mg \cos \beta \sin \beta $.
Таким образом, $|N_{1x}|=|N_{2x}|$. Отсюда следует, что свободный клин при помещении на его грани тел одинаковой массы в движение не придет.