2014-05-30
На гладком горизонтальном столе покоится прямоугольный клин с углами при основании $\alpha$ и $\beta = \pi/2 - \alpha$. На верхнем ребре клина закреплен невесомый блок, через который перекинута невесомая нерастяжимая нитка. К нитке прикреплены грузы с массами $m_{1},m_{2}$ (рис. а). В начальный момент скорости грузов равны нулю. В какую сторону начнет перемешаться клин, если телам, принадлежащим системе, позволить свободно двигаться? Трение между всеми
соприкасающимися поверхностями и в оси блока отсутствует.
Решение:
На систему из клина с грузами действуют четыре внешние силы. Это силы тяжести и сила нормальной реакции со стороны горизонтальной плоскости. Все они не имеют горизонтальных составляющих и поэтому не могут изменить суммарной величины горизонтальных составляющих импульсов клина и грузов, входящих в систему. В начальный момент суммарный импульс системы равен нулю. Затем, если грузы начинают двигаться вправо (влево) вдоль оси х, т. е. приобретают положительные (отрицательные) импульсы, то, в силу действия закона сохранения импульса, клин начинает смещаться влево (вправо), т. е. получает отрицательный (положительный) импульс.
Чтобы определить направление движения грузов, рассмотрим сначала движение грузов при закрепленном клине. Все действующие на грузы силы показаны на (рис. б). Это силы тяжести $m_{1} \bar{g}, m_{2} \bar{g}$, силы нормальной реакции клина $\bar{R_{2}}, \bar{R_{2}}$, силы натяжения нити $\bar{T_{1}}, \bar{T_{2}}$. Обозначая через $ \bar{a_{1}}, \bar{a_{2}}$ соответственно ускорения грузов с массами $m_{1}, m_{2}$, выпишем их уравнения движения
$m_{1} \bar{a_{1}}=m_{1} \bar{g}+\bar{R_{1}}+\bar{T_{1}}$, (1)
$m_{2} \bar{a_{2}}=m_{2} \bar{g}+\bar{R_{2}}+\bar{T_{2}}$. (2)
В силу нерастяжимости нити приходим к выводу,
$|\bar{a_{1}}|=|\bar{a_{2}}|=a, |\bar{T_{1}}|=|\bar{T_{2}}|=T$. Принимая это во внимание и проецируя уравнения (1) и (2) соответственно на направления,
параллельные левой и правой наклонным граням клина, получаем
$m_{1}a=T-m_{1}g \sin \alpha$, (3)
$m_{2}a=m_{2}g \sin \beta -T$. (4)
(при проецировании за положительное принято направление слева направо). Складывая почленно равенства (3) и (4), находим
$a=\frac{m_{2} \sin \beta – m_{1} \sin \alpha}{m_{1}+m_{2}}$
Из этого выражения следует, что грузы движутся направо, т. е. $a > 0$, при $m_{2}/m_{1} > tg \: \alpha$. Тогда незакрепленный клин будет двигаться налево. В противном случае клин будет двигаться направо, а при $m_{2}/m_{1} = tg \: \alpha$
грузы и клин останутся неподвижными.