2015-02-14
Известно, что число n является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^{2}$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Решение:
Пусть $n=a^{2}+ b^{2}+ c^{2}$ тогда $n^{2}= left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}
ight )^{2}
=a^{4} +b^{4} +c^{4} +2a^{2}b^{2} +2b^{2}c^{2} +2a^{2}c^{2}.$
Преобразуем это выражение:
$ a^{4} +b^{4} +c^{4} +2a^{2}b^{2} +2b^{2}c^{2} +2a^{2}c^{2}=$
$=left ( a^{4} +b^{4} +c^{4} +2a^{2}b^{2} −2b^{2}c^{2} −2a^{2}c^{2}
ight ) +4b^{2}c^{2} +4a^{2}c^{2}
=left (a^{2} +b^{2} −c^{2}
ight )^{2} +(2bc)^{2} +(2ac)^{2}.$
Можно считать, что a>b>c, тогда $a^{2}+b^{2}−c^{2}>0$. Следовательно, мы представили число $n^{2}$ в виде суммы квадратов трех натуральных чисел.