Воспользовавшись сведениями из геометрии, найдем значения тригонометрических функций углов $30^{ \circ}, 45^{ \circ}$ и $60^{ \circ}$ (или соответственно в радианной мере углов $\frac{ \pi}{6}, \frac{ \pi}{4}$ и $\frac{ \pi}{3}$).


1) $\alpha = \frac{ \pi}{6}$ (рис.). На основании теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, заключаем, что

$\sin \frac{ \pi}{6} = y = \frac{1}{2}$

(поскольку $r = 1$). Воспользовавшись теперь формулами $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha }$,
$tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}$ и $tg \alpha ctg \alpha = 1$ легко вычислим:

$\cos \frac{ \pi}{6} = + \sqrt{ 1 - \sin^{2} \frac{ \pi }{6}} = \sqrt{ 1 - \frac{1}{4} } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$,
$tg \frac{ \pi}{6} = \frac{ \sin \frac{ \pi}{6} }{ \cos \frac{ \pi}{6} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }, ctg \frac{ \pi }{6} = \frac{1}{tg \frac{ \pi }{6} } = \sqrt{3}$.


2) $\alpha = \frac{ \pi}{4}$ (рис.). В данном случае проще начинать с вычисления тангенса:

$tg \frac{ \pi }{4} = \frac{y}{x} = 1$,

ибо $y = x$. Воспользовавшись теперь формулами $\cos \alpha = \pm \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha } }$, $\sin \alpha = tg \alpha \cos \alpha = \pm \frac{tg \alpha }{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha } }$ и $tg \alpha ctg \alpha = 1$, легко найдем:

$\cos \frac{ \pi}{4} = \frac{1}{ \sqrt{2} }, \sin \frac{ \pi}{4} = \frac{1}{ \sqrt{2} }, ctg \frac{ \pi }{4} = 1$.


3) $\alpha = \frac{ \pi}{3}$ (рис.). По определению косинуса $\cos \frac{ \pi }{3} = x$. В нашем случае $x = \frac{1}{2}$, следовательно,

$\cos \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{2}$.

Далее воспользуемся формулами (3), $tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}$ и $tg \alpha ctg \alpha = 1$:

$\sin \frac{ \pi}{3} = \sqrt{1 - \cos^{2} \frac{ \pi}{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$,
$tg \frac{ \pi}{3} = \frac{ \sin \frac{ \pi}{3} }{ \cos \frac{ \pi}{3} } = \sqrt{3}$,
$ctg \frac{ \pi }{3} = \frac{1}{ tg \frac{ \pi }{3} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$.

Присоединяя к полученным результатам результаты "Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2 π" составим следующую таблицу значений тригонометрических функций некоторых часто встречающихся углов.



О поведении $tg \alpha$ в окрестности $\alpha = \frac{ \pi }{2}, \alpha = \frac{3 \pi }{2}$ и $ctg \alpha$ в окрестности $\alpha = 0, \alpha = \pi$ и $\alpha = 2 \pi$ "Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2 π".