Углы $\alpha$ и $\beta$ назовем дополнительными до $\frac{ \pi}{2}$, если $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$. Сходными (по названию) тригонометрическими функциями будем соответственно называть синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс.

Теорема. Сходные тригонометрические функции дополнительных углов равны между собой.

Доказательство. Докажем сначала, что

$\sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \cos \alpha$, (1)
$\cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \sin \alpha$. (2)


Предположим для определенности, что $\frac{ \pi}{2} < \alpha < \pi$; тогда угол $\beta = \frac{ \pi}{2} - \alpha$ удовлетворяет неравенствам $- \frac{ \pi}{2} < \beta < 0$. Построим теперь с помощью подвижного единичного радиуса-вектора $\vec{r}$ углы $AOE = \alpha$ и $AOE_{1} = - \beta > 0$ (рис.). Заметим, что $\Delta B_{1}OE_{1} = \Delta BEO$ (они прямоугольные, имеют равные гипотенузы $\bar{|OE|} = \bar {|OE_{1}|}$, и равные острые углы: $\angle BEO = \alpha - \frac{ \pi}{2} = - \beta = \angle B_{1}OE_{1}$). Из равенства треугольников имеем $-x = y_{1}$ и $x_{1} = у$. Следовательно, $\sin (- \beta) = \sin \left ( \alpha - \frac{ \pi}{2} \right ) = y_{1} = -x = - \cos \alpha$, откуда $\sin \left ( \alpha - \frac{ \pi}{2} \right ) = - \cos \alpha$, но в силу нечетности синуса $\sin \left ( \alpha - \frac{ \pi}{2} \right ) = - \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right )$, и мы имеем $\sin \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) = \cos \alpha$.

Аналогично доказывается, что $\cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \sin \alpha$.

Для остальных функций можно вести так:

$tg \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac { \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) }{ \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) } = \frac { \cos \alpha}{ \sin \alpha} = ctg \alpha$, (3)
$ctg \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) = \frac{ \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right )}{ \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) } = \frac { \sin \alpha }{ \cos \alpha} = tg \alpha$. (4)

При выводе формул (3) и (4) мы пользовались только что доказанными формулами (1) и (2).

Замечание 1. При доказательстве теоремы мы считали, что угол $\alpha$ задан в радианах. Соответствующие формулы для угла $\alpha$, измеренного в градусной мере, легко получить из формул (1) - (4), заменив $\frac{ \pi}{2}$ на $90^{\circ}$.

Замечание 2. При доказательстве теоремы мы предположили для определенности, что угол $\alpha$ удовлетворяет неравенствам $\frac{ \pi}{2} < \alpha < \pi$. Можно показать, что теорема остается в силе и в случае любого угла $\alpha$ (как положительного, так и отрицательного).