Полная механическия энергия
Закон сохранения энергии замкнутой системы тел
Рассмотрим энергию, которой обладают тела, взаимодействующие только друг с другом. Напомним, что такие тела образуют замкнутую систему тел.
В параграфе "Потенциальная энергия упруго деформированного тела" и "Потенциальная энергия тела, находящегося под действием силы тяжести" было установлено, что, когда тела взаимодействуют силой упругости или силой тяжести, совершенная этими силами работа равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы.
Но силы взаимодействия могут вызвать изменение и скоростей тел, а следовательно, и изменение их кинетической энергии. Согласно теореме о кинетической энергии работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии. Следовательно, работа сил взаимодействия между телами равна по величине и совпадает по знаку с изменением кинетической энергии взаимодействующих тел.
Итак, мы видим, что одна и та же работа сил взаимодействия равна изменению потенциальной энергии, взятому со знаком «-», и изменению кинетической энергии, взятому со знаком «+ ». Это означает, что изменение кинетической энергии равно взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия увеличивается, то кинетическая на столько же уменьшается и наоборот, когда потенциальная энергия уменьшается, растет кинетическая.
Сумму потенциальной и кинетической энергии тел называют полной механической энергией.
Из приведенных нами рассуждений следует закон сохранения механической энергии замкнутой системы тел.
Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной при любых движениях тел этой системы, если между телами действуют силы тяготения или силы упругости.
Превращение потенциальной энергии в кинетическую или кинетической в потенциальную - одно из самых замечательных явлений в природе. Это главное отличительное свойство энергии. В дальнейшем мы ознакомимся со многими другими примерами превращений одного вида энергии в другой.
Закон сохранения энергии позволяет лучше понять физический смысл работы. Из того факта, что одна и та же работа приводит к увеличению кинетической энергии и такому же уменьшению потенциальной энергии, следует, что работа равна энергии, испытавшей превращение из одного вида в другой.
В девятой главе мы ознакомились с законом сохранения импульса замкнутой системы тел. Теперь мы получили второй закон сохранения - закон сохранения энергии. Эти два закона носят самый общий характер и являются абсолютно точными даже тогда, когда законы механики Ньютона перестают быть справедливыми.
Если система тел не является замкнутой, например на одно из тел этой системы действует внешнее тело, не относящееся к системе, то полная механическая энергия системы уже не остается постоянной. Когда подъемный кран поднимает груз, на груз действует не только сила тяжести (сила его взаимодействия с Землей), но и сила натяжения троса. Поэтому система груз - Земля не является замкнутой. Если сила натяжения троса равна $F$, а кран поднял груз на высоту $h$, то работа, совершенная обеими этими силами, равна:
$A = (F - mg)h$.
Эта работа согласно теореме о кинетической энергии равна изменению кинетической энергии груза:
$A = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{} }{2}$,
где $v_{1}$ - скорость груза в начале, а $v_{2}$ - в конце подьема. Следовательно,
$(F - mg )h = \frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{2} }{2}$,
Отсюда
$Fh = mgh + \left ( \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{mv_{1}^{2} }{2} \right )$.
Здесь $mgh$ - изменение потенциальной энергии груза, а $\frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{2} }{2}$ - изменение его кинетической энергии.
Таким образом, полная механическая энергия этой системы изменяется на величину работы, совершенной силой натяжения троса.
Если на тело или тела, образующие систему, действуют внешние по отношению к той системе силы, полная энергия системы изменяется на величину работы, совершенной этими силами.
Если скорость подъема груза, как это часто бывает, остается постоянной, то
$Fh = mgh$,
т. е. работа, совершенная силой натяжения троса, равна изменению потенциальной энергии системы.
Задача. Искусственный спутник Земли движется по эллиптической орбите. Найдите скорость $v_{2}$ движения спутника в апогее, если его скорость в перигее $v_{1} = 8 км/сек$. Перигей орбиты находится на расстоянии $h_{1} = 200 км$, а апогей - на расстоянии $h_{2} = 400 км$ от поверхности Земли.
Решение. На спутник действует только сила тяжести - сила взаимодействия с Землей. Поэтому система тел спутник - Земля - замкнутая система. Для нее справедлив закон сохранения энергии. Пренебрегая изменением кинетической энергии Земли, можно написать:
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} + mgh_{1} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} + mgh_{2}$
($m$ - масса спутника).
Отсюда $\frac{v_{2}^{2} }{2} = \frac{v_{1}^{2} }{2} + gh_{1} - gh_{2}$
и $v_{2} = \sqrt{ v_{1}^{2} + 2g(h_{1} - h_{2} ) }$.
Подставляя числовые значения, получим:
$v_{2} = \sqrt{64 \cdot 10^{6} \frac{м^{2}}{с^{2} } - 2 \cdot 10 \frac{м}{с^{2} } \cdot 2 \cdot 10^{5} м} = 10^{3} \sqrt{60 \frac{м^{2} }{с^{2} }} \approx 7,7 \cdot 10^{3} \frac{м}{с}$.
При решении задачи мы пренебрегли изменением значения $g$ с высотой над поверхностью Земли.