Второй закон Ньютона
Равнодействующая сила
Альтернативная формулировка Второго закона Ньютона
Выясним, какой величиной выражается сила, пли, как говорят, какая величина служит мерой силы, действующей на теле.
На этот вопрос может ответить только опыт. Опыт должен состоять в том, чтобы одну и ту же силу приложить к различным телам и измерить их ускорения.
При этом ускорения тел могут быть разными. Но если на все эти тела действует одна и та же сила, то нужно из опыта наши такую величину, характеризующую ускоряемые тела, которая для всех тел так же была бы одной и той же. Эта величина и будет выражать действующую на тело силу.
Ускоряющим телом, которое действует на Есе тела с одной и той же силой, может служить растянутая пли сжатая пружина. Био ей дно из того, что та же пружина в СЕоем нормальном состояния, т. е. нераетимутая (и несжатая), вовсе- не действует на прикрепленные к ней тела какой-либо силой.
Значит, сила упругости, о которой данная пружина действует на прикрепленные к ней тела, зависит только от ее растяжения, а не от свойств прикрепленных к ней тел. Следовательно, растянутая (или сжатая) на определенную длину пружина действует на все тела с одной и той же силой.
Упомянутый выше опыт сводится к измерению ускорений различных тел, прикрепленных к пружине, растянутой на определенную длину.
Как уже указывалось в "Взаимодействие тел. Ускорения тел при их взаимодействии", удобнее всего измерять ускорение тел, движущихся по окружности, т. е. центростремительной ускорение. Поэтому мы снова воспользуемся центробежной машиной.
рис. 1
Поместим тело $M$ в виде алюминиевого цилиндра с просверленным по его оси отверстием на стержень центробежной машины (рис. 1, а). Прикрепим к цилиндру конец пружины, а другой ее конец закрепим на раме машины в точке $A$. Приведем машину во вращение. Цилиндр М, удалившись несколько от оси вращения (на расстояние $x$) и растянув при этом пружину, станет двигаться по окружности (рис. 1, б) радиусом $r$. Центростремительное ускорение цилиндра направлено по радиусу окружности к центру. Но вдоль радиуса направлена и ось пружины. Следовательно, ускорение цилиндра $M$ направлено вдоль оси пружины. Ясно, что это ускорение сообщает цилиндру сила упругости растянутой пружины. Ведь не будь пружины цилиндр просто соскользнул бы со стержня (если бы ему не мешал упор в точке $B$), как это мы видели в § 27.
Центростремительное ускорение по абсолютному значению равно, как мы знаем,
$| \vec{a} | = \omega^{2}r$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения машины, а $r$ - радиус окружности, по которой движется цилиндр, т. е. расстояние от него до оси вращения.
Измерив угловую скорость $\omega$ и радиус $r$, мы найдем модуль ускорения $\vec{a}$.
При вращении машины пружина с прикрепленным к ней телом растягивается тем больше, чем больше угловая скорость вращения. И каждому значению угловой скорости соответствует определенное растяжение пружины и, следовательно, определенное значение силы упругости.
Заменим теперь алюминиевый цилиндр точно таким же по размерам стальным цилиндром. Мы уже знаем, что его масса в три раза больше массы алюминиевого цилиндра.
Приведем машину снова во вращение и подберем такую скорость этого вращения, чтобы растяжение пружины было таким же, каким оно было при вращении цилиндра из алюминия. Тогда и сила, действующая на стальной цилиндр, будет такой же.
Опыт показывает, что в этом случае угловая скорость вращения машины будет в $\sqrt{3}$ раз меньше. Это значит, что ускорение стального цилиндра в 3 раза меньше, чем алюминиевого. Направлено это ускорение по-прежнему вдоль оси пружины (по радиусу окружности к центру). Выходит, что при увеличении массы тела втрое ускорение, сообщаемое ему одной и той же силой, сохраняет свое направление, а по абсолютному значению уменьшается в 3 раза.
Отсюда следует, что произведение массы тела на его ускорение для обоих тел одно и то же.
Можно провести этот опыт со множеством других тел самых различных масс. Он покажет, что при одном и том же растяжении пружины, т. е. при одной и той же силе, произведение массы тела на его ускорение для всех тел одно и то же.
Так мы нашли величину, которая одинакова для различных тел, на которые действует одна и та же сила.
Значит, произведение массы тела на его ускорение выражает силу, действующую на тело.
Если обозначить силу, действующую на тело, через $\vec{F}$, ускорение тела через $\vec{a}$, а его массу через $m$, то можно написать:
$\vec{F} = m \vec{a}$.
Но, может быть, это верно только для силы упругости растянутой пружины и к другим силам не относится? Чтобы ответить на этот вопрос, проведем еще один опыт, который позволит нам сравнить другие силы с силой упругости. Сравним, например, силу тяжей и с силой упругости.
рис. 2
Для этого воспользуемся той же пружиной, но расположим ее вертикально, закрепив верхний конец неподвижно (рис. 2а). К нижнему концу пружины подвесим груз известной массы $m$ (рис. 2б). Мы увидим, что пружина растянется, а груз будет находиться в покое (после нескольких колебаний). На груз теперь действуют одновременно две силы: сила тяжести со стороны Земли и сила упругости со стороны растянутой пружины. Не будь пружины, груз под влиянием Земли падал бы свободно вниз с ускорением $g = 9,81 м/с^{2}$, направленным по вертикали вниз. Но раз ускорение груза равно нулю, это означает, что растянутая пружина сама по себе тоже сообщила бы грузу ускорение а $\vec{a} = - \vec{g}$ (направленное вертикально вверх). Значит, сила тяжести $\vec{F}$ и сила упругости $\vec{F}_{упр}$ действующие на груз, равны по абсолютному значению и противоположны по направлению: $\vec{F} = - \vec{F}_{упр}$. Но сила упругости, действующая на тело, как мы только что выяснили, равна произведению массы на ускорение, которое она ему сообщает, т. е.
$\vec{F}_{упр} = - m \vec{g}$.
Значит, сила тяжести $\vec{F}$, равная $- \vec{F}_{упр}$, будет равна:
$\vec{F} = m \vec{g}$.
Так мы установили, что сила тяжести тоже равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое ему этой силой.
Опыты, подобные рассмотренным выше, и многие другие позволили Ньютону сформулировать один из важнейших законов механики - второй закон Ньютона.
Сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое этой силой ускорение.
Математически второй закон Ньютона выражается формулой
$\vec{F} = m \vec{a}$.
Из формулы, выражающей второй закон Ньютона, видно, в каких единицах измеряется сила. Сила равна единице, если, действуя на тело, масса которого равна единице, она сообщит ему ускорение, равное единице.
В системе СИ за единицу силы принимается сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 $м/с^{2}$. Эту единицу называют ньютоном (сокращенно: Н):
$1 Н = 1 кг \cdot 1 м/с^{2} = 1 кгм/с^{2}$.
В системе СГС за единицу силы принимается сила, сообщающая массе в 1 г ускорение $1 см/с^{2}$. Эту силу называют диной (сокращенно: дин):
$1 дин = 1 г \cdot 1 см/с^{2} = 1 гсм/с^{2}$.
Легко найти соотношение между ньютоном и диной:
$1 Н = \frac{1 кгм}{c^{2} } = \frac{10^{3} г \cdot 10^{2} см }{c^{2} } = 10^{5} дин$.
Например, сила тяжести, действующая на тело массой 1 кг, вблизи поверхности Земли равна:
$F = 1 кг \cdot 9,8 \frac{м}{с^{2} } = 9,8 Н = 9,8 \cdot 10^{5} дин$.
Из второго закона Ньютона следует, и это важно понять, что действующие на тело силы определяют его ускорение, т. е. изменение скорости, а не саму скорость движения тела. Поэтому направление ускорения всегда совпадает с направлением действующей силы. Направление же скорости, а следовательно, и перемещения может и не совпадать с направлением действующей силы. Так, например, сила может быть все время направлена перпендикулярно скорости движения тела. В этом случае движение происходит по окружности, а ускорение, так же как и сила, направлено по радиусу, проведенному от движущегося тела к центру. Так двигалось тело под действием силы упругости в центробежной машине.
Если тело взаимодействует не с одним, а с несколькими телами, то на него действует не одна, а несколько сил, причем силы «не мешают» друг другу сообщать телу, на которое они действуют, свое ускорение.
Поэтому ускорение, которое сообщают телу все совместно действующие на него силы, будет такое же, какое сообщала бы ему одна сила, равная сумме всех этих сил. Так как сила - величина векторная, то под суммой всех сил надо понимать векторную сумму. Такая сумма называется равнодействующей всех приложенных к телу сил
. И в формуле $\vec{F} = m \vec{a}$, выражающей второй вакон Ньютона, под $\vec{F}$ нужно понимать равнодействующую всех сил, действующих на тело.
рис. 3
Приведем простой пример. На качелях, известных под названием «гигантские шаги», на человека действуют одновременно две силы (рис. 88): сила $\vec{F}_{1}$ - со стороны Земли, направленная вниз, и сила $\vec{F}_{2}$ - со стороны каната, направленная вдоль каната. Под действием двух сил «пассажир» движется по окружности вокруг столба, к которому прикреплен канат. Значит, ускорение направлено к центру окружности, а не вдоль силы $\vec{F}_{1}$ или $\vec{F}_{2}$. Из рисунка видно, что к центру окружности направлена и сила $\vec{F}$, которая равна геометрической сумме сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. «Пассажир», следовательно, движется так, как будто бы на него действуют не две силы: $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, а всего одна - их равнодействующая $\vec{F}$:
$\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2}$.
рис. 4
рис. 5
Векторная сумма сил, действующих на тело, может быть равна и нулю. Тогда ускорение тела тоже будет равно нулю, и тело будет либо покоиться, либо двигаться прямолинейно и равномерно. Этот случай мы и имели в виду, когда в "Тела и их окружение. Первый закон Ньютона" говорили о компенсации действий нескольких тел на данное тело. В примере с подвешенным на шнуре шариком, который мы там рассматривали, компенсация состоит в том, что силы, с которыми на шарик действуют шнур и Земля, противоположны по направлению и равны по абсолютному
значению ($\vec{F}_{1} = - \vec{F}_{2}$), поэтому их равнодействующая равна нулю (рис. 4).
На рисунке 5 показан случай, когда нулю равна равнодействующая, т. е. векторная сумма, не двух, а трех сил: $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$, действующих на тело (фонарь).
Пользуясь понятием силы, мы можем теперь дать другую формулировку первому закону Ньютона.
Существуют системы отсчета, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое, если равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.
(На самом деле этот вывод справедлив только для материальной точки или для тел, движущихся только поступательно. Сумма сил, действующих на тело, может быть равна нулю, но тело может вращаться. При этом точки тела движутся о ускорением.)