Разделы 
Дополнительно
Уравнения высших степеней. Целые корни.
Уравнения высших степеней
Алгебраические уравнения выше второй степени мы называем уравнениями высших степеней. Изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. В нашем курсе рассматриваются лишь некоторые частные вопросы, относящиеся к уравнениям высших степеней. Здесь мы покажем, как можно находить целые корни уравнения с целочисленными коэффициентами (если такие корни имеются).
Пусть старший коэффициент уравнения равен единице (приведенное уравнение), а остальные коэффициенты - целые числа. Пусть такое уравнение
$x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ (1)
имеет корнем целое число $x = k$; подставляя $x = k$ в уравнение, получим
$k^{n} + a_{1}k^{n-1} + \cdots +a_{n-1}k + a_n = 0$,
откуда
$a_{n} = -k (k^{n-1} + a_{1}k^{n-2} + \cdots + a_{n-1})$,
где оба сомножителя в правой части равенства - целые; таким образом, свободный член $a_{n}$ уравнения должен делиться на $k$. Все целые корни приведенного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Отсюда следует, что в качестве целых корней надлежит испытывать не какие-либо произвольные целые числа, а лишь делители свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество.
Можно доказать, что приведенное уравнение с целыми коэффициентами не имеет других рациональных корней, кромецелых; поэтому наш метод дает все рациональные решения уравнения (1).
