Часто бывает необходимо, зная тригонометрические функции аргумента $\alpha$, найти тригонометрические функции аргумента $\frac{ \alpha}{2}$. Выведем соответствующие формулы. Мы имеем
$\cos^{2} \frac{ \alpha}{2} - \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} = \cos \alpha$. (*)
Присоединим к этой формуле основное тригонометрическое тождество:
$\cos^{2} \frac{ \alpha}{2} + \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} = 1$. (1)
Сложив почленно (*) и (1), получим
$1 + \cos \alpha = 2 \cos^{2} \frac{ \alpha}{2}$. (2)
Вычитая (*) из (1), получим
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$. (3)
Из тождеств (2) и (3) соответственно имеем
$\cos \frac{ \alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha}{2}}$, (4)
$\sin \frac{ \alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha}{2}}$. (5)
Разделив почленно тождество (3) на (2), приходим к тождеству
$tg^{2} \frac{ \alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$. (6)
Из последнего тождества имеем
$tg \frac{ \alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$. (7)
Применяя формулы (4), (5) и (7), следует всякий раз заботиться о знаке, который нужно взять перед радикалом.
Для вычисления $tg \frac{ \alpha}{2}$ могут быть использованы и формулы, выражающие $tg \frac{ \alpha}{2}$ через $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ рационально. Выведем эти формулы:
а) $tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2}}{ \cos \frac{ \alpha}{2} } = \frac{ 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} }{2 \cos^{2} \frac{ \alpha}{2}} = \frac{ \sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Итак,
$tg \frac{ \alpha}{2} = \frac {\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$. (8)
Так как всегда $1 + \cos \alpha \geq 0$ (формула (8) имеет смысл только при $1 + \cos \alpha > 0$), то из (8) можно заключить, что знак $tg \frac{\alpha}{2}$ во всех случаях совпадает со знаком $\sin \alpha$.
6) $tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2}}{ \cos \frac{ \alpha}{2}} = \frac{2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} }{2 \cos \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \alpha}{2}} = \frac {1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Итак,
$tg \frac{ \alpha}{2} = \frac {1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$. (9)
Из последней формулы также ясно, что знак $tg \frac{ \alpha}{2}$ совпадает со знаком $\sin \alpha$, ибо всегда $1 - \cos \alpha \geq 0$.
Пример 1. Найти $\sin 22^{ \circ} 30^{ \prime}, \cos 22^{ \circ} 30^{ \prime}$ и $tg 22^{ \circ} 30^{ \prime}$.
Решение. Мы знаем, что $\cos 45^{ \circ} - \sin 45^{ \circ} = \frac{ \sqrt{2}}{2}$. Следовательно, применяя формулы (5), (4) и (9), получим
$\sin 22^{ \circ} 30^{ \prime} = + \sqrt{ \frac{1 - \cos 45^{ \circ} }{2}} = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{2} \approx 0,383$;
$\cos 22^{ \circ} 30^{ \prime} = + \sqrt{ \frac{1 + \cos 45^{ \circ} }{2}} = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \approx 0,924$;
$tg 22^{ \circ} 30^{ \prime} = \frac{1 - \cos 45^{ \circ} }{ \sin 45^{ \circ} } = \sqrt{2} - 1 \approx 0,414$.
Пример 2. Дано: $\sin \alpha = - \frac{4}{5}$, где $\frac{ З \pi}{2} < \alpha <2 \pi$. Найти $\sin \frac{ \alpha}{2}$ и $\cos \frac{ \alpha}{2}$.
Решение. Сначала находим
$\cos \alpha = + \sqrt{1 - \sin^{2} \alpha} = \sqrt{ 1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
Так как $\frac{3 \pi}{4} < \frac{ \alpha}{2} < \pi$, то $\sin \frac{ \alpha}{2} > 0$, a $\cos \frac{ \alpha }{2} < 0$.
Применяя формулы (5), (4) и беря в них радикалы с соответствующими знаками, получим
$\sin \frac{ \alpha }{2} = + \sqrt{ \frac{1 - \cos \alpha }{2} } = \sqrt{ \frac{1 - \frac{3}{5} }{2} } = \frac{ \sqrt{5} }{5}$,
$\cos \frac{ \alpha }{2} = - \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha }{2} } = - \sqrt{ \frac{1 + \frac{3}{5} }{2} } = - \frac{2 \sqrt{5} }{5}$.