Разделы 
Дополнительно
Тригонометрические функции двойного аргумента.
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. (1)
Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента.
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha$. (2)
Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.
$tg 2 \alpha = \frac {2 tg \alpha}{1 - tg^{2} \alpha}$. (3)
Пример 1. Упростить выражение
$A = \frac {1 + tg \alpha tg \frac{ \alpha}{2}}{ctg \frac{ \alpha}{2} + tg \frac{ \alpha}{2}}$.
Решение. Умножим числитель и знаменатель на $tg \frac{ \alpha}{2}$ и заменим $tg \alpha$ по формуле (9), тогда получим
$A = \frac {tg \frac{ \alpha}{2} \left ( 1 + \frac {2 tg^{2} \frac{ \alpha}{2} }{1 - tg^{2} \frac{ \alpha}{2} } \right ) }{1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} } = \frac {tg \frac{ \alpha}{2} \left ( 1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right )}{ \left ( 1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) \left (1 - tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right )} = \frac{tg \alpha}{2}$.
$A = \frac {1 + tg \alpha tg \frac{ \alpha}{2}}{ctg \frac{ \alpha}{2} + tg \frac{ \alpha}{2}}$.
Решение. Умножим числитель и знаменатель на $tg \frac{ \alpha}{2}$ и заменим $tg \alpha$ по формуле (9), тогда получим
$A = \frac {tg \frac{ \alpha}{2} \left ( 1 + \frac {2 tg^{2} \frac{ \alpha}{2} }{1 - tg^{2} \frac{ \alpha}{2} } \right ) }{1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} } = \frac {tg \frac{ \alpha}{2} \left ( 1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right )}{ \left ( 1 + tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) \left (1 - tg^{2} \frac{ \alpha}{2} \right )} = \frac{tg \alpha}{2}$.
Пример 2. Доказать, что $ctg \alpha - tg \alpha - 2tg 2\alpha - 4tg 4 \alpha = 8 ctg 8 \alpha$.
Решение. Заметим, что $ctg \alpha - tg \alpha = \frac{ 1}{tg \alpha} - tg \alpha = \frac {1 - tg^{2} \alpha}{tg \alpha} = \frac{2}{tg 2 \alpha}$.
Решение. Заметим, что $ctg \alpha - tg \alpha = \frac{ 1}{tg \alpha} - tg \alpha = \frac {1 - tg^{2} \alpha}{tg \alpha} = \frac{2}{tg 2 \alpha}$.
Пример 2. Доказать, что $ctg \alpha - tg \alpha - 2tg 2\alpha - 4tg 4 \alpha = 8 ctg 8 \alpha$.
Решение. Заметим, что $ctg \alpha - tg \alpha = \frac{ 1}{tg \alpha} - tg \alpha = \frac {1 - tg^{2} \alpha}{tg \alpha} = \frac{2}{tg 2 \alpha}$.
Преобразуя левую часть тем же способом и далее, получим последовательно $\frac{2}{tg 2 \alpha} - 2 tg 2 \alpha - 4 tg 4 \alpha = \frac{4}{tg 4 \alpha} - 4 tg 4 \alpha = \frac{8}{tg 8 \alpha} = 8 ctg 8 \alpha$, т. e. $ctg \alpha - tg \alpha - 2 tg 2 \alpha - 4 tg 4 \alpha = 8 ctg 8 \alpha$. Тождество доказано.
Решение. Заметим, что $ctg \alpha - tg \alpha = \frac{ 1}{tg \alpha} - tg \alpha = \frac {1 - tg^{2} \alpha}{tg \alpha} = \frac{2}{tg 2 \alpha}$.
Преобразуя левую часть тем же способом и далее, получим последовательно $\frac{2}{tg 2 \alpha} - 2 tg 2 \alpha - 4 tg 4 \alpha = \frac{4}{tg 4 \alpha} - 4 tg 4 \alpha = \frac{8}{tg 8 \alpha} = 8 ctg 8 \alpha$, т. e. $ctg \alpha - tg \alpha - 2 tg 2 \alpha - 4 tg 4 \alpha = 8 ctg 8 \alpha$. Тождество доказано.
