неравенства
несимметричность (необратимость) неравенства
транзитивность неравенства
строгие и нестрогие неравенства
Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности: для любых чисел $a, b$ имеет место одно и только одно из трех соотношений: $a > b, a = b$, или $a < b$. При этом запись $a > b$ означает, что разность $a - b$ положительна, а запись $a < b$ - что разность $a - b$ отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной статье рассматриваются только действительные числа.
Соотношения $a > b$ и $a < b$ назовем неравенствами, числа $a$ и $b$ - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и < (меньше) - знаками неравенства.
Неравенства $a > b$ и $с > d$ называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства $a > b$ и $с < d$ называются неравенствами противоположного (или разного) смысла.
Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если $a > b$, то $b < a$, и обратно.
Действительно, если разность $a - b$ положительна, то разность $b - a$ отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если $a - b$ и $b > c$, то $a > c$.
Действительно, из положительности разностей $a - b$ и $b - c$ следует и положительность $a-c = (a-b) + (b-c)$.
Кроме знаков неравенства > и < применяют также знаки неравенства $\geq$ и $\leq$. Они определяются следующим образом: запись $a \geq b$ означает, что либо $a > b$, либо $a = b$. Поэтому, например, можно писать $5 \geq 3$, а также $3 \geq 3$.
Обычно неравенства, записанные с помощью знаков >, <, называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков $\leq$, $\geq$ - нестрогими неравенствами.
Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство $a > b$ и произвольное число $m$. По определению разность $a - b$ положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа $m$ и ($-m$), от чего оно не изменится, т. е.
$a-b+m-m = a-b$.
Это равенство можно переписать так:
$(a+m) - (b+m) = a-b$.
Из этого следует, что разность $(a+m) - (b + m)$ положительна, т. е. что
$a+m > b+m$,
это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
$a+b > c$
следует, что
$a>c-b$,
$b > c-a$,
$a+b-c>0$ и т. п.
4. При умножении членов неравенства на одно и то оке положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть $a > b$; тогда $a-b> 0$. Если $m > 0$, то $m(a-b) > 0$, так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим $am-bm> 0$, т. е. $am > bm$. Аналогичным образом рассматривается случай $m < 0$.
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число $n \neq 0$ равносильно умножению на число $1/n$, а числа $n$ и $1/n$ имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведена и его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть $a>b, b> 0$ (в этом случае по свойству транзитивности и $a > 0$). Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции $x^m$ при $x > 0$ и положительном $m$ будем иметь $a^m > b^m$.
В частности, если $m = 1/k$, где $k$ - натуральное число, то получим
$\sqrt [k]{a} > \sqrt [k]{b}$
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства - может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
6. От неравенства $a > b$ можно перейти к неравенству между $ 1/a$ и $1/b$: если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла: $1/a < 1/b$.
Доказательство. Если $a$ и $b$ - одного знака, то нх произведение $ab$ положительно. Разделим на $ab$ неравенство $a > b$:
$\frac{a}{ab} > \frac{b}{ab}$, или $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$,
т.е. $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть $b>c, c>0$. Тогда при $a> 1$ будет
$log_a b > log_a c$,
а при $0 < a < 1$ будет
$log_a b < log_a c$.
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание $a> 1$, и убывает при $a < 1$.
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если $b > c$ и $a > 1$, то $a^b > a^c$ если $b > c$, но $0 < a < 1$, то $a^b < a^c$.
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции $a^x$, которая возрастает в случае $a > 1$ и убывает, если $0 < a < 1$.
9. При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства $a > b$ и $c > d$. По определению числа $a-b$ и $c-d$ будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
$(a-b)+(c-d) > 0$.
Группируя иначе слагаемые, получим
$(a + c) - (b+d) > 0$
и, следовательно,
$a+c > b+d$,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства $a>b$ и $c < d$ разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: $d > c$. Сложим теперь два неравенства $a > b$ и $d > c$ одинакового смысла и получим неравенство
$a + d > b + c$
из того же смысла. Из последнего находим
$a-c > b-d$,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
11. Если почленно перемножить два неравенства одинакового смысла с положительными членами, то образуется неравенство того же смысла.
Доказательство. Пусть $a > b, с > d$, причем $b > 0, d > 0$. Находим, умножая первое неравенство на $c$, а второе на $b$:
$ac > bc, bc > bd$,
откуда в силу транзитивности
$ac > bd$.
Отсюда снова вытекает правило о возведении неравенства с положительными членами в натуральную степень.
12. Для любого числа $a$ имеет место неравенство $|a| \geq a$.
Доказательство. Если $a \geq 0$, то справедливо равенство $|a| = a$. Если $a < 0$, то $|a|>0$ и имеется строгое неравенство $|a| > a$. В обоих случаях можно писать $|a| \geq a$, что и требовалось получить.
13. Модуль суммы не превосходит суммы модулей:
$|a+b| \leq |a| + |b|$ (1)
Доказательство. Модуль суммы $|a+b|$ равен либо $a+b$, либо $-(a+b)$. По свойству 12 имеем
$a \leq |a|$, $b \leq |b|$,
складывая эти неравенства почленно (по свойству 9), найдем
$a + b \leq |a| + |b|$. (2)
Точно так же $-a \leq |a|$, $- b \leq |b|$ и
$-(a + b) \leq |a| + |b|$. (3)
Из неравенств (2) и (3) видно, что $|a + b| \leq |a|+|b|$.
В действительности нетрудно выяснить, когда имеет место знак равенства и когда знак строгого неравенства: $|a+b| < |a| + |b|$, если $a$ и $b$ одного знака, $|a +b| < |a| +|b|$, если $a$ и $b$ противоположных знаков.
Например, $|5 + 3| = |5| + |3|$; в то же время $|5 - 3| < |5| +|-3|$.
Свойство 13 верно и для любого числа слагаемых. Более того, оно обобщается и на комплексные числа (речь идет, конечно, о неравенствах между модулями комплексных чисел, которые являются действительными числами). Именно, если $z_{1} = a_{1} +b_{1} i, z_{2} = a_{2} + b_{2} i$, то $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}|+ |z_{2}|$ (рекомендуем возвратиться к
, где сумма комплексных чисел изображена геометрически, и истолковать написанное выше неравенство геометрически).
14. Разность модулем не больше модуля разности:
$|a| - |b| \leq |a-b|$. (4)
Доказательство. Запишем очевидное равенство
$|a| = |b + (a-b)|$
и применим свойство 13:
$|a| = |b| +(a-b)| \leq |b| + |a-b|$.
Получим $|a| \leq |b| + |a-b|$, или $|a| - |b| \leq |a-b|$.
Неравенство (4) допускает следующее усиление:
$||a| - |b|| \leq |a-b|$,
и остается верным и в применении к комплексным числам.