Разделы 
Дополнительно
Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.
Определение степени с положительным рациональным показателем
Определение степени с отрицательным рациональным показателем
Будем, рассматривать только корни из положительных чисел. В случае, когда $m$ делится нацело на $n$,
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$.
Обобщая это правило, можно ввести следующее определение степени с положительным рациональным показателем $p/q$:
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$. (1)
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$. (1)
В случае отрицательного рационального показателя степени $-p/q$ полагают (по аналогии со случаем целого отрицательного показателя степени)
$a^{-\frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^{p}}}$. (2)
$a^{-\frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^{p}}}$. (2)
На степени с рациональными показателями распространяются все правила действий над степенями с натуральными и вообще целыми показателями. Для их обоснования достаточно применить правила действий над корнями. Докажем, например, свойство
$a^{\frac{p}{q}}a^{\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}}$.
Имеем
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = \sqrt[qq^{\prime}]{a^{pq^{\prime}}}$.
Так же получим $a^{\frac{p}{p^{\prime}}} = \sqrt[qq^{\prime}]{a^{p^{\prime}q}}$. Отсюда
$a^{\frac{p}{1}}a^{\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}} = \sqrt[qq^{\prime}]{a^{pq^{\prime}}} \sqrt[qq^{\prime}]{a^{p^{\prime}q}} = \sqrt[qq^{\prime}]{a^{pq^{\prime} + p^{\prime}q}} = a^{\frac{pq^{\prime}+p^{\prime}q}{qq^{\prime}}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}}$
что и требовалось доказать.
Рассматривают также степени положительного числа $a$ при произвольных действительных показателях. В основу определения $a^{x}$ при иррациональном $x$ кладется последовательное приближение $x$ рациональными числами. Так, например, для $3^{\sqrt{2}}$ следует рассмотреть приближения по недостатку и по избытку для $\sqrt{2}$ и возводить 3 в соответствующие рациональные степени, записывая
$3^{1} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{2},$
$3^{1,4} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{1,5},$
$3^{1,41} < 3^{\sqrt{2}} < 3^{,42},$
$\cdots$.
По мере продолжения этого процесса левая и правая части неравенств, выраженные бесконечными десятичными дробями, будут иметь все большее и большее число совпадающих десятичных знаков, которые и будут приниматься за десятичные знаки, определяющие иррациональное число $3^{\sqrt{2}}$. Более подробно рассматривать этот вопрос мы не можем, но отметим, что $a^{x}$ имеет действительное вполне определенное значение при $a > 0$ и любом действительном $x$.
Замечание. Извлечение корня нечетной степени возможно и из отрицательного числа. Поэтому выражению $a^{\frac{p}{q}}$ при $a < 0$ также можно приписать смысл с помощью равенства $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$ в случае, когда несократимая рациональная дробь $p/q$ имеет нечетный знаменатель. В случае четного $q$ и для иррациональных значений показателя степень отрицательного основания не определяется. Нуль в любой положительной степени равен нулю; нулевая и отрицательные степени нуля не определены.
Пример. Произвести действия, пользуясь отрицательными и дробными показателями степени: $\sqrt[5]{\frac{8}{9}} \sqrt[7]{\frac{3}{16}}$.
Решение. $\sqrt[5]{\frac{8}{9}} \sqrt[7]{\frac{3}{16}} = 2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{- \frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{- \frac{4}{7}} = 2^{\frac{1}{35}} \cdot 3^{- \frac{9}{35}} = \sqrt[35]{\frac{2}{3^{9}}}$.
