При этом $a$ называется основанием, а $n$ — показателем степени. При $n = 1$ просто полагают $a^{1} = a$. Таким образом, степень $a^{n}$ определяется при любых натуральных значениях $n$. Поскольку действие возведения в натуральную степень определено через действие умножения, то оно рассматривается как рациональное (арифметическое) действие. Отметим некоторые свойства этого действия.
1) При любых натуральных $n, m$
$a^{n}a^{m} = a^{n+m}$.(1)
Это следует из записи
$a^{n}a^{m} = \underbrace{aa \cdots a}_{n} \cdot \underbrace{aa \cdots a}_{m} = \underbrace{aa \cdots a}_{n+m} = a^{n+m}$.
Таким образом, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются.
2) Если $n > m$ и $a \neq 0$, то
$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$. (2)
Действительно, это следует из равенства
$a^{n} = a^{m+(n-m)}=a^{n}a^{n-m}$.
3) При любых натуральных $n, m$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$(3)
Действительно, по определению $n$ - й степени числа имеем
$(a^{m})^{n} = \underbrace{a^{m}a^{m} \cdots a^{m}}_{n}$
и по свойству 1)
$(a^{m})^{n} = a^{m+m+ \cdots + m} = a^{mn}$,
что и требовалось получить.

Итак, при возведении степени в степень показатели степени перемножаются.
4)$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$(4)
5)$\left ( \frac{a}{b} \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$(5)